Ακριβώς δύο

KARKAR · #1

$\bigstar$ Ο

είναι θετικός . Η συνάρτηση : f(x)=x^3+x-k

, έχει μόνο μία ( πραγματική ) ρίζα .

Υπάρχει περίπτωση η συνάρτηση : g(x)=x^3+x^2-k

, να έχει ακριβώς δύο ρίζες ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 02, 2024 8:05 am
$\bigstar$ Ο είναι θετικός . Η συνάρτηση : , έχει μόνο μία ( πραγματική ) ρίζα .

Υπάρχει περίπτωση η συνάρτηση : , να έχει ακριβώς δύο ρίζες ;

Ένα τριτοβάθμιο πολυώνυμο έχει τουλάχιστον μία πραγματική διακεκριμένη ρίζα. Οι άλλες δύο μπορεί να είναι

συζυγείς μιγαδικοί, ή πραγματικές και άνισες , ή μία διπλή ρίζα. Εδώ υποθέτω ότι έχουμε να κάνουμε με την

τελευταία αυτή περίπτωση. Έστω

η μία ρίζα και

η διπλή ρίζα της

$\displaystyle {(x - a)^2}(x - b) = {x^3} + {x^2} - k \Leftrightarrow {x^3} - (2a + b){x^2} + a(a + 2b)x - {a^2}b = {x^3} + {x^2} - k$

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 2a + b = - 1 \hfill \\ a(a + 2b) = 0 \hfill \\ {a^2}b = k \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \frac{2}{3} \hfill \\ b = \frac{1}{3} \hfill \\ k = \frac{4}{{27}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Η απάντηση λοιπόν είναι ναι.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 02, 2024 8:05 am
$\bigstar$ Ο είναι θετικός . Η συνάρτηση : , έχει μόνο μία ( πραγματική ) ρίζα .

Υπάρχει περίπτωση η συνάρτηση : , να έχει ακριβώς δύο ρίζες ;

Διαφορετικά αλλά ακολουθώντας τον Γιώργο όπου η διπλή ρίζα μετράει ως μία.

α) Άμεσο αφού η x^3+x

είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα δύο συναρτήσεων που αυξάνουν γνήσια.

β) Για k=0

έχουμε ακριβώς δύο ρίζες (το πώς σκέφτηκα το k=0

θα το δούμε παρακάτω) διότι τότε έχουμε

g(x)=x^3+x^2= x^2(x+1)

με δύο ρίζες, τις x=0

και

. Όμοια για $k=\frac {4}{27}$ γιατί τότε

$g(x)=x^3+x^2 - \frac {4}{27} = ... = \left ( x+ \frac {2}{3} \right)^2 \left ( x- \frac {1}{3} \right)$ , με ρίζες τις $x= -\frac {2}{3}$ και $χ= \frac {1}{3}$ .

Πώς σκεφτόμαστε;

Οι διπλές ρίζες είναι και ρίζεις της παραγώγου. Εδώ (x^3+x^2-k)'= 3x^2+2x

με ρίζες

και $x= -\frac {2}{3}$ . Αντικαθιστώντας το x=0

στην δοθείσα, δηλαδή θέλουμε g(0)=0

, θα μας δώσει k=0

, που είναι το πρώτο

παραπάνω. 'Ομοια από την δεύτερη, εδώ $g \left ( -\frac {2}{3}\right) =0$ , θα πάρουμε $k=\frac {4}{27}$ , ως άνω. To σχήμα αιτιολογεί τα λεχθέντα.

Αυτά μεταξύ άλλων δείχνουν ότι δεν υπάρχουν άλλα

πέρα από τα δύο αναφερθέντα.

Ακριβώς δύο

Ακριβώς δύο

Re: Ακριβώς δύο

Re: Ακριβώς δύο

Μέλη σε σύνδεση