Διαχειρίσιμη διαφορά

KARKAR · #1

: Διαχειρίσιμη διαφορά.png (10.65 KiB) Προβλήθηκε 1590 φορές

Το σημείο

κινείται στην μπλε ημιευθεία . Μελετήστε την διαφορά : AB-AC

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 11, 2025 11:31 am Διαχειρίσιμη διαφορά.pngΤο σημείο κινείται στην μπλε ημιευθεία . Μελετήστε την διαφορά : .

Θέτω

και έχω προς μελέτη τη συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \sqrt {2{x^2} + 2x + 1} - \sqrt {2{x^2} - 2x + 1},$ $x\ge 0.$

$\displaystyle f'(x) = \frac{{(2x + 1)\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} - (2x - 1)\sqrt {2{x^2} + 2x + 1} }}{{\sqrt {4{x^4} + 1} }},$ $x\ge 0.$

θα δείξω ότι $\displaystyle \frac{{2x - 1}}{{2x + 1}} < \frac{{\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} }}{{\sqrt {2{x^2} + 2x + 1} }}.$ Πράγματι, για $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}$ ισχύει, ενώ για $x>\dfrac{1}{2}$

υψώνω στο τετράγωνο και καταλήγω στην:

$\displaystyle 1 - \frac{{8x}}{{4{x^2} + 4x + 1}} < 1 - \frac{{4x}}{{2{x^2} + 2x + 1}} \Leftrightarrow \frac{2}{{4{x^2} + 4x + 1}} > \frac{1}{{2{x^2} + 2x + 1}} \Leftrightarrow 2 > 1,$ που ισχύει.

Η

είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα με ελάχιστη τιμή f(0)=0.

Τέλος εύκολα αποδεικνύεται ότι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \sqrt 2$

Διαχειρίσιμη διαφορά

Διαχειρίσιμη διαφορά

Re: Διαχειρίσιμη διαφορά

Μέλη σε σύνδεση