Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

math8000 · #1

Ένα κλασικό θέμα στο θεώρημα του Fermat είναι το εξής: Αν ισχύει $a^x\geq x+1 , \forall x \in \mathbb{R}$ να αποδειχτεί ότι a=e

. Το ερώτημα είναι το εξής: Αφού αποδείξουμε ότι a=e

πρέπει ή όχι να γυρίσουμε πίσω και να δείξουμε ότι η συνάρτηση f(x)=e^x-x-1

παρουσιάζει όντως ολικό ελάχιστο στο

; Προσωπική μου γνώμη είναι ότι πρέπει να το κάνουμε , διότι το θεώρημα του Fermat ισχύει γενικά για ακρότατα, δηλαδή και για μέγιστα και για ελάχιστα, οπότε η πορεία της λύσης χρησιμοποιεί μόνο το ότι η

παρουσιάζει ακρότατο και όχι , ειδικά, ελάχιστο.

Το ρωτάω διότι έχω δει σε βιβλία και τις δύο λύσεις , π.χ. στο βιβλίο των Στεργίου - Νάκη διευκρινίζεται σαφώς ότι πρέπει να γίνει η επαλήθευση. Σε άλλα πάλι όχι. Επίσης υπάρχει διαφωνία στο σχολείο σχεδόν κάθε χρόνο, του τύπου "εμάς μας είπαν ότι δε χρειάζεται". Ευκαιρία να απαντήσουμε μια και καλή σε αυτό το λεπτό σημείο.

Christos.N · #2

Αν δεν γίνει η επαλήθευση, ποιο πρόβλημα δημιουργείται;

math8000 · #3

Το συμπέρασμα του Fermat , που από αυτό εξάγεται η τιμή του α , ισχύει και για τοπικά μέγιστα και για τοπικά ελάχιστα. Άρα η συνεπαγωγή $f'(0)=0 \Rightarrow a=e$ θα ίσχυε ακόμα και αν δινόταν η $a^x\leq x+1 , \forall x \in \mathbb{R}$ . Άρα (αυτή είναι η ερώτηση) , μήπως είναι απαραίτητο να γίνει η επαλήθευση , ώστε να εξασφαλιστεί ότι πρόκειται για έλαχιστο , όπως λέει η εκφώνηση ;

Λευτέρης Παπανικολάου · #4

math8000 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 6:26 pm
Ένα κλασικό θέμα στο θεώρημα του Fermat είναι το εξής: Αν ισχύει $a^x\geq x+1 , \forall x \in \mathbb{R}$ να αποδειχτεί ότι . Το ερώτημα είναι το εξής: Αφού αποδείξουμε ότι πρέπει ή όχι να γυρίσουμε πίσω και να δείξουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει όντως ολικό ελάχιστο στο ; Προσωπική μου γνώμη είναι ότι πρέπει να το κάνουμε , διότι το θεώρημα του Fermat ισχύει γενικά για ακρότατα, δηλαδή και για μέγιστα και για ελάχιστα, οπότε η πορεία της λύσης χρησιμοποιεί μόνο το ότι η παρουσιάζει ακρότατο και όχι , ειδικά, ελάχιστο.

Το ρωτάω διότι έχω δει σε βιβλία και τις δύο λύσεις , π.χ. στο βιβλίο των Στεργίου - Νάκη διευκρινίζεται σαφώς ότι πρέπει να γίνει η επαλήθευση. Σε άλλα πάλι όχι. Επίσης υπάρχει διαφωνία στο σχολείο σχεδόν κάθε χρόνο, του τύπου "εμάς μας είπαν ότι δε χρειάζεται". Ευκαιρία να απαντήσουμε μια και καλή σε αυτό το λεπτό σημείο.

Γιατί δεν χρησιμοποιεί η λύση ειδικά το ελάχιστο; Μα αφού από αυτό ξεκινάμε. Οι συλλογισμοί είναι: Ισχύει η συγκεκριμένη σχέση για την f, άρα η f παρουσιάζει σε κάποιο σημείο ΕΛΑΧΙΣΤΟ, άρα τοπικό ακρότατο. Αυτό το σημείο είναι εσωτερικό του R και επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο (εφόσον όντως είναι) σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat η παράγωγός της μηδενίζεται σε αυτό. Μπορείς να γράψεις σε ποιες σελίδες του βιβλίου των Στεργίου-Νάκη υπάρχει το σχετικό θέμα ώστε να το τσεκάρω;

math8000 · #5

Τόμος Γ2 , σελίδα 85 , λυμένη άσκηση 2.12 (έκδοση 2017 , Σαββάλας). Αντιγράφω (αφού έχει βρει α =e): Στο σημείο αυτό πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Αν και κάποιος θα νόμιζε ότι η απάντηση είναι ολοκληρωμένη , ωστόσο λείπει κάτι σημαντικό. Η συνθήκη g'(0) = 0 είναι αναγκαία και όχι ικανή. Τίποτα λοιπόν δε μας εξασφαλίζει ότι η τιμή α = e είναι δεκτή. Για παράδειγμα , την ίδια τιμή θα βρίσκαμε αν δινόταν η ανάποδη ανισότητα"

Το ίδιο γράφει και ο παπαδάκης , τόμος 2 , σελίδα 172 , εφαρμογή 1η. (έκδοση του 2017 , Σαββάλας). Αντιθέτως οι Ντάβος (Παράγωγος 2) και Ζανταρίδης - Τηλέγραφος κτλ , τόμος 2 , δε κάνουν επαλήθευση.

evantampa129 · #6

Νομίζω ότι το λεπτό σημείο εδώ είναι η ακριβής διατύπωση της άσκησης.

Αρχικά, αφού η παράσταση a^x

θεωρείται για κάθε πραγματικό

, πρέπει να έχουμε a>0

. Άρα η συνάρτηση που θα ορίσουμε είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ .

Υποθέτουμε ότι ισχύει $a^x\geq x+1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Θέτουμε f(x)=a^x-x-1

.

Από την υπόθεση έχουμε $f(x)\geq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Επίσης, για x=0

, έχουμε

.

Άρα ισχύει $f(x)\geq f(0)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Επομένως, η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο

. Αυτό είναι σημαντικό, γιατί εδώ δε χρησιμοποιούμε απλώς ότι η

έχει κάποιο ακρότατο. Από την ίδια την υπόθεση προκύπτει συγκεκριμένα ότι η

έχει ολικό ελάχιστο στο

.

Αφού η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και παρουσιάζει ακρότατο στο εσωτερικό σημείο

, από το θεώρημα του Fermat έχουμε $f^{\prime}(0)=0$ .

Υπολογίζουμε τώρα την παράγωγο:

$f^{\prime}(x)=a^x\ln(a)-1$ .

Άρα $f^{\prime}(0)=a^0\ln(a)-1=\ln(a)-1$ .

Επειδή $f^{\prime}(0)=0$ , παίρνουμε $\ln(a)-1=0$ .

Άρα $\ln(a)=1$ , οπότε a=e

.

Επομένως, από την υπόθεση ότι $a^x\geq x+1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , αποδείξαμε ότι αναγκαστικά a=e

.

Άρα, αν η εκφώνηση είναι διατυπωμένη ως εξής: «Αν ισχύει $a^x\geq x+1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , να αποδειχθεί ότι a=e

», τότε δεν είναι λογικά απαραίτητο να γίνει επαλήθευση. Σε αυτή την περίπτωση ζητείται μόνο η συνεπαγωγή

$\left(a^x\geq x+1,\ x\in\mathbb{R}\right)\Rightarrow a=e$ .

Δηλαδή η άσκηση δε ζητά να βρούμε όλες τις τιμές του

, αλλά να δείξουμε ότι, αν η ανισότητα ισχύει για κάθε πραγματικό

, τότε το

είναι αναγκαστικά ίσο με

.

Αν όμως η εκφώνηση ήταν: «Να βρεθούν οι τιμές του

για τις οποίες ισχύει $a^x\geq x+1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ », τότε η επαλήθευση θα ήταν απαραίτητη. Σε αυτή την περίπτωση δεν αρκεί να δείξουμε ότι αναγκαστικά a=e

. Πρέπει να δείξουμε και ότι το a=e

πράγματι ικανοποιεί την αρχική ανισότητα.

Για την επαλήθευση αυτή θέτουμε g(x)=e^x-x-1

.

Τότε $g^{\prime}(x)=e^x-1$ .

Για x<0

έχουμε

, άρα $g^{\prime}(x)<0$ .

Για x=0

έχουμε $g^{\prime}(0)=0$ .

Για x>0

έχουμε

, άρα $g^{\prime}(x)>0$ .

Επομένως, η

είναι φθίνουσα στο $(-\infty,0]$ και αύξουσα στο $[0,+\infty)$ . Άρα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο

.

Επειδή g(0)=e^0-0-1=0

, παίρνουμε $g(x)\geq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Δηλαδή $e^x-x-1\geq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Άρα $e^x\geq x+1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Συνεπώς, αν ζητείται μόνο να αποδειχθεί ότι από την υπόθεση προκύπτει a=e

, η επαλήθευση δεν είναι λογικά απαραίτητη. Αν όμως ζητείται η εύρεση όλων των τιμών του

, τότε η επαλήθευση είναι απαραίτητη, γιατί τότε αποδεικνύουμε την ισοδυναμία

$a^x\geq x+1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ αν και μόνο αν a=e

.

Dimessi · #7

Λοιπόν καλησπέρα κατά αρχάς. Να σημειώσουμε ότι η διαδικασία της εξαγωγής του συμπεράσματος για την εύρεση της τιμής του a έχει θεμελιωθεί πάνω στην παραδοχή της ύπαρξης τοπικού ακροτατου της συνάρτησης στο 0.
Η παρερμηνεία έγκειται στην διατύπωση της άσκησης, η οποία προεξοφλεί εκ των προτέρων πως η ύπαρξη ακροτατου θα οδηγήσει σε ύπαρξη ελάχιστου , χωρίς να έχει διαλευκανθεί αν ευσταθεί αυτό το συμπέρασμα.
Έχει δίκιο στην παρατήρηση του ο math 8000, αλλά είναι στην ουσία ένας ατέρμονος κύκλος όλη αυτή η συζήτηση κατά την άποψη μου.

∫ot.T. · #8

Θεωρώ απαραίτητη την επαλήθευση γιατί με το θεώρημα Fermat ουσιαστικά λέμε «πρέπει», όχι «πρέπει και αρκεί». Δηλαδή ξεκινόντας από το ότι μία συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο

και είναι παραγωγίσιμη εκεί, πρέπει η παράγωγος να είναι

άρα πρέπει a=e

. Όμως υπάρχει το ενδεχόμενο να μην υπάρχει συνάρτηση που να ικανοποιεί το ζητούμενο, αφού το πρέπει a=e

δεν εξασφαλίζει ότι αρκεί κιόλας.

Δηλαδή χωρίς επαλήθευση κατσαλήγουμε στο ότι «Δεν υπάρχει τέτοιο a ή a=e».

#9

Καλησπέρα σε όλους.

Το θέμα είχε απασχολήσει πολύ παλαιότερα το

Δίνω την παραπομπή για όποιον από τους νεότερους θα ήθελαν να γνωρίσουν και για τους παλαιότερους να θυμηθούν τις συζητήσεις 17 χρόνια πριν. ΕΔΩ #14 και στις επόμενες.

math8000 · #10

[/quote]
Γιατί δεν χρησιμοποιεί η λύση ειδικά το ελάχιστο; Μα αφού από αυτό ξεκινάμε. Οι συλλογισμοί είναι: Ισχύει η συγκεκριμένη σχέση για την f, άρα η f παρουσιάζει σε κάποιο σημείο ΕΛΑΧΙΣΤΟ, άρα τοπικό ακρότατο. Αυτό το σημείο είναι εσωτερικό του R και επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο (εφόσον όντως είναι) σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat η παράγωγός της μηδενίζεται σε αυτό. Μπορείς να γράψεις σε ποιες σελίδες του βιβλίου των Στεργίου-Νάκη υπάρχει το σχετικό θέμα ώστε να το τσεκάρω;
[/quote]

Διότι η λύση δε χρησιμοποιεί το ελάχιστο αυστηρά , αλλά μόνο ότι είναι ακρότατο. Δηλαδή χρησιμοποιεί κάτι πιο ασθενές από την υπόθεση της άσκησης. Αυτό αφήνει χώρο να ισχύει a = e ακόμα κι αν δινόταν η $\leq$ αντί της $\geq$ . Επομένως πρέπει να ελεγχθεί ότι η τιμή a=e

οδηγεί στην $\geq$ και όχι στην $\leq$ .

math8000 · #11

Γεγονός είναι ότι κυκλοφορούν βιβλία και με τους δύο τρόπους και αυτό δεν είναι καλό.

Λευτέρης Παπανικολάου · #12

math8000 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 7:29 pm

Γιατί δεν χρησιμοποιεί η λύση ειδικά το ελάχιστο; Μα αφού από αυτό ξεκινάμε. Οι συλλογισμοί είναι: Ισχύει η συγκεκριμένη σχέση για την f, άρα η f παρουσιάζει σε κάποιο σημείο ΕΛΑΧΙΣΤΟ, άρα τοπικό ακρότατο. Αυτό το σημείο είναι εσωτερικό του R και επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο (εφόσον όντως είναι) σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat η παράγωγός της μηδενίζεται σε αυτό. Μπορείς να γράψεις σε ποιες σελίδες του βιβλίου των Στεργίου-Νάκη υπάρχει το σχετικό θέμα ώστε να το τσεκάρω;
[/quote]

Διότι η λύση δε χρησιμοποιεί το ελάχιστο αυστηρά , αλλά μόνο ότι είναι ακρότατο. Δηλαδή χρησιμοποιεί κάτι πιο ασθενές από την υπόθεση της άσκησης. Αυτό αφήνει χώρο να ισχύει a = e ακόμα κι αν δινόταν η $\leq$ αντί της $\geq$ . Επομένως πρέπει να ελεγχθεί ότι η τιμή a=e

οδηγεί στην $\geq$ και όχι στην $\leq$ .
[/quote]
Νομίζω ότι στην προηγούμενή μου απάντηση φαίνεται ότι χρησιμοποιούμε εξαρχής ότι παρουσιάζει ελάχιστο. Υπάρχει κάποιο λάθος στον συλλογισμό που σου παρέθεσα; Αν όχι, τότε χρησιμοποιούμε το ότι έχει ελάχιστο. Τι σημαίνει ''χρησιμοποιεί αυστηρά''; Μα το ελάχιστο είναι είδος ακροτάτου με συγκεκριμένες συνθήκες. Oι οποίες παρέχονται. Τι περισσότερο να χρησιμοποιήσει δηλαδή; Υπάρχει κάτι παραπάνω που να ξεχωρίζει το ελάχιστο από το ακρότατο; Η υπόθεση χρησιμοποιείται πλήρως. Το ότι η συνάρτηση f, που θεώρησε ο συνάδελφος, παρουσιάζει ελάχιστο είναι ισοδύναμη πρόταση με την υπόθεση που δίνεται. Πέρα από αυτό, μη χανόμαστε. Οι συλλογισμοί είναι αυτοί που σου παρέθεσα πιο πάνω. Σε αυτούς χρησιμοποιείται το ελάχιστο (ειδικά) και η λύση είναι πλήρης. Τα υπόλοιπα (αλλά αυτά είναι άλλο θέμα) τα αναλύει πολύ σωστά ο συνάδελφος που έχει γράψει πλήρες παράδειγμα. Το πρόβλημα ''Αν..., τότε...'' είναι διαφορετικό από το πρόβλημα ''Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε να ισχύει...''. Σε αυτό το δεύτερο ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ να γυρίσουμε πίσω και να κάνουμε επαλήθευση γιατί μπορεί όντως να ΜΗΝ παρουσιάζει ελάχιστο. Άλλο αυτό όμως και άλλο αν ισχύει η συνεπαγωγή. Άλλωστε σε άλλο σου σχόλιο παραπάνω γράφεις '' Άρα η συνεπαγωγή f'(0)=0 \Rightarrow a=e θα ίσχυε ακόμα και αν δινόταν η a^x\leq x+1 , \forall x \in \mathbb{R}.'' Άρα κι εσύ ο ίδιος δέχεσαι σαφώς ότι η συγκεκριμένη συνεπαγωγή ισχύει! Απλά αν δεν είναι όντως ελάχιστο θα είναι ψευδής η υπόθεση, οπότε αληθής η συνεπαγωγή! Η άσκηση ΔΕΝ ζητάει να εξασφαλιστεί ότι πρόκειται για ελάχιστο, απαντάω εδώ και στο άλλο σχόλιο που γράφεις ''μήπως είναι απαραίτητο να γίνει η επαλήθευση , ώστε να εξασφαλιστεί ότι πρόκειται για έλαχιστο , όπως λέει η εκφώνηση ;''. Η εκφώνηση λέει με άλλα λόγια: ΑΝ παρουσιάζει ελάχιστο ΤΟΤΕ να δείξεις ότι...

Λευτέρης Παπανικολάου · #13

Dimessi έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 7:24 pm
Λοιπόν καλησπέρα κατά αρχάς. Να σημειώσουμε ότι η διαδικασία της εξαγωγής του συμπεράσματος για την εύρεση της τιμής του a έχει θεμελιωθεί πάνω στην παραδοχή της ύπαρξης τοπικού ακροτατου της συνάρτησης στο 0.
Η παρερμηνεία έγκειται στην διατύπωση της άσκησης, η οποία προεξοφλεί εκ των προτέρων πως η ύπαρξη ακροτατου θα οδηγήσει σε ύπαρξη ελάχιστου , χωρίς να έχει διαλευκανθεί αν ευσταθεί αυτό το συμπέρασμα.
Έχει δίκιο στην παρατήρηση του ο math 8000, αλλά είναι στην ουσία ένας ατέρμονος κύκλος όλη αυτή η συζήτηση κατά την άποψη μου.

H εκφώνηση δεν ζητάει να βρεθεί η τιμή του α, πρόκειται για την απόδειξη μιας συνεπαγωγής.

math8000 · #14

Λευτέρης Παπανικολάου έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 8:28 pm

H εκφώνηση δεν ζητάει να βρεθεί η τιμή του α, πρόκειται για την απόδειξη μιας συνεπαγωγής.

Συμφωνούμε σε αυτό και τώρα καταλαβαίνω το επιχείρημα καλύτερα. Λέτε ότι αφού είναι ελάχιστο , είναι ακρότατο, άρα από το θεωρήμα η παράγωγος μηδενίζεται και καταλήγουμε στον υπολογισμό του α. Όλα σωσά , εφόσον ζητείται απόδειξη της τιμής του α.

Ωστόσο σε διάφορα βιβλία κυκλοφορεί με την εκφώνηση "να βρεθεί η τιμή του α αν γνωρίζετε ότι ..." Εκεί χρειάζεται επαλήθευση ή όχι ;

Λευτέρης Παπανικολάου · #15

math8000 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 7:22 pm
Τόμος Γ2 , σελίδα 85 , λυμένη άσκηση 2.12 (έκδοση 2017 , Σαββάλας). Αντιγράφω (αφού έχει βρει α =e): Στο σημείο αυτό πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Αν και κάποιος θα νόμιζε ότι η απάντηση είναι ολοκληρωμένη , ωστόσο λείπει κάτι σημαντικό. Η συνθήκη g'(0) = 0 είναι αναγκαία και όχι ικανή. Τίποτα λοιπόν δε μας εξασφαλίζει ότι η τιμή α = e είναι δεκτή. Για παράδειγμα , την ίδια τιμή θα βρίσκαμε αν δινόταν η ανάποδη ανισότητα"

Το ίδιο γράφει και ο παπαδάκης , τόμος 2 , σελίδα 172 , εφαρμογή 1η. (έκδοση του 2017 , Σαββάλας). Αντιθέτως οι Ντάβος (Παράγωγος 2) και Ζανταρίδης - Τηλέγραφος κτλ , τόμος 2 , δε κάνουν επαλήθευση.

Ο Στεργίου πολύ σωστά γράφει ότι πρέπει να ελέγξουμε αν η τιμή που βρήκαμε είναι δεκτή. Με την υπόθεση προφανώς ότι η εκφώνηση ζητούσε να βρεθεί το α ώστε να ισχύει μια συγκεκριμένη ανισότητα. Όχι να αποδειχθεί μια συνεπαγωγή, όπως στην ανάρτησή σου. Μπορείς να ανεβάσεις και την εκφώνηση της άσκησης του Στεργίου ώστε να έχουμε πληρέστερη εικόνα για το θέμα;

math8000 · #16

Ναι, λέει " να βρεθεί η τιμή του α ώστε να ισχύει..." . Έχετε δίκιο, εκεί πρέπει να γίνει επαλήθευση λοιπόν. Όμως στον Παπαδάκη , ζητείται να αποδειχτεί ότι a = e , και αφού το βρει , κάνει επαλήθευση.

#17

math8000 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 6:26 pm
Ένα κλασικό θέμα στο θεώρημα του Fermat...........................

Το ρωτάω διότι έχω δει σε βιβλία και τις δύο λύσεις , π.χ. στο βιβλίο των Στεργίου - Νάκη διευκρινίζεται σαφώς ότι πρέπει να γίνει η επαλήθευση. Σε άλλα πάλι όχι. Επίσης υπάρχει διαφωνία στο σχολείο σχεδόν κάθε χρόνο, του τύπου "εμάς μας είπαν ότι δε χρειάζεται". Ευκαιρία να απαντήσουμε μια και καλή σε αυτό το λεπτό σημείο.

.... math800, μάλλον κάποιο άλλο βιβλίο θα έχεις στο μυαλό σου !

Εμείς είμαστε από τους πρώτους σχεδόν, πριν το 2010, που το έχουμε ξεκαθαρίσει :

(α) Στο ερώτημα ''να αποδείξετε ότι ...'' δεν χρειάζεται καμία επαλήθευση.

(β) Στο ερώτημα : '' βρείτε τις τιμές του α, ώστε ....'', η επαλήθευση είναι άκρως απαραίτητη.

: Fermat και επαλήθευση.PNG (106 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές

Λευτέρης Παπανικολάου · #18

math8000 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 8:35 pm

Λευτέρης Παπανικολάου έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 8:28 pm

H εκφώνηση δεν ζητάει να βρεθεί η τιμή του α, πρόκειται για την απόδειξη μιας συνεπαγωγής.

Συμφωνούμε σε αυτό. Ωστόσο σε διάφορα βιβλία κυκλοφορεί με την εκφώνηση "να βρεθεί η τιμή του α αν γνωρίζετε ότι ..." Εκεί χρειάζεται επαλήθευση ή όχι ;

Μπορείς να δεις και την παραπομπή που έκανε ο κύριος Ρίζος πιο πάνω, νομίζω ότι θα σε καλύψει. Εγώ από μέρους μου μπορώ να σου πω τα εξής:
1) ''Aν ισχύει η πρόταση α, τότε ισχύει η πρόταση β'' Σε αυτές τις ασκήσεις ΔΕΝ χρειάζεται επαλήθευση.
2) ''Να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες (ώστε) να ισχύει η τάδε πρόταση'' Σε αυτές τις ασκήσεις ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ επαλήθευση.
3) ''Αν ισχύει η τάδε πρόταση, τότε να βρεθούν οι τιμές του α'' Σε αυτές τις ασκήσεις θέλει προσοχή: Επιστημονικά ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ επαλήθευση διότι μιλάμε για εύρεση μαθηματικού αντικειμένου (το οποίο μπορεί όμως να μην υπάρχει! Αυτό συμβαίνει στην περίπτωση που έχουμε ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΑ θεωρήσει ότι ισχύει η υπόθεση). ΟΜΩΣ από τους μαθητές ΔΕΝ (πρέπει να) ζητάμε επαλήθευση, διότι η αβλεψία βαραίνει τον θεματοδότη και όχι τον μαθητή βεβαίως! Είναι σαν να έχεις ερώτημα πολλαπλής επιλογής και ΚΑΜΙΑ επιλογή να μην είναι σωστή! ΦΑΟΥΛ του θεματοδότη που προφανώς ΔΕΝ το χρεώνεται ο μαθητής. Ελπίζω να βοήθησα λίγο να ξεκαθαριστεί αυτό το αμφιλεγόμενο θέμα

math8000 · #19

Κύριε Μπάμπη, ο Λευτέρης σωστά τα είπε. Εγώ ζήτησα τη διευκρίνηση και το αρχικό "μπέρδεμα" προέκυψε από το βιβλίο του Παπαδάκη που ζητάει απόδειξη και κάνει επαλήθευση.

Λευτέρης Παπανικολάου · #20

math8000 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 8:46 pm
Ναι, λέει " να βρεθεί η τιμή του α ώστε να ισχύει..." . Έχετε δίκιο, εκεί πρέπει να γίνει επαλήθευση λοιπόν. Όμως στον Παπαδάκη , ζητείται να αποδειχτεί ότι a = e , και αφού το βρει , κάνει επαλήθευση.

Αν το έχει έτσι, πρόκειται για κάτι που δεν χρειάζεται (να κάνει επαλήθευση)

Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Re: Ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα του Fermat

Μέλη σε σύνδεση