Εύρεση συναρτήσεων

Tolaso J Kos · #1

Δίδονται οι συνεχείς συναρτήσεις $f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ και $\mathrm{F}$ , $\mathrm{G}$ οι παράγουσες αυτών αντίστοιχα. Αν

$\displaystyle{\mathrm{F}(x) \mathrm{G}(x) = f(x) g(x) = e^{-2x} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$

και $\mathrm{F}(0)=1$ τότε να βρεθούν οι συναρτήσεις f, g

.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 06, 2021 2:05 am
Δίδονται οι συνεχείς συναρτήσεις $f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ και $\mathrm{F}$ , $\mathrm{G}$ οι παράγουσες αυτών αντίστοιχα. Αν

$\displaystyle{\mathrm{F}(x) \mathrm{G}(x) = f(x) g(x) = e^{-2x} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$

και $\mathrm{F}(0)=1$ τότε να βρεθούν οι συναρτήσεις .

Επειδή το δεξί μέλος δεν μηδενίζεται, σημαίνει ότι οι F,G,f,g

δεν μηδενίζονται πουθενά.

Παραγωγίζοντας την $F(x)G(x) = e^{-2x}$ παίρνουμε $f(x)G(x)+F(x)g(x) = -2e^{-2x}$ και άρα από τις αρχικές

$\displaystyle{f(x)\dfrac {e^{-2x}} {F(x)} + F(x)\dfrac {e^{-2x}} {f(x)} = -2e^{-2x}}$ . Ισοδύναμα

$\displaystyle{\dfrac {f(x)} {F(x)} + \dfrac {F(x)} {f(x)} = -2}$ , οπότε (f(x)+F(x))^2=0

. Έπεται ότι F(x)= -f(x)= -F'(x)

,

από όπου ως γνωστόν $F(x)= e^{-x} +c$ . Από την F(0)=1

βρίσκουμε τελικά $F(x)= e^{-x}$ . Όμοια $G(x)=e^{-x}$ .

Παραγωγίζοντας, $f(x)=g(x)=-e^{-x}$ , που επαληθεύουν την αρχική.

Εύρεση συναρτήσεων

Εύρεση συναρτήσεων

Re: Εύρεση συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση