Ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{e^x f(x) + f \left ( e^{-x} \right ) = xe^x +e^{-x} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 04, 2021 11:58 am
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{e^x f(x) + f \left ( e^{-x} \right ) = xe^x +e^{-x} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x$ .

Εκτός αν υπάρχει κάποια λύση που δεν την βλέπω, δεν κάνει για Γ' Λυκείου ως πονηρή.

Εξετάζοντας τα γραφήματα των $e^{-x}$ (γνήσια φθίνουσα) και της

(γνήσια αύξουσα), εύκολα βλέπουμε ότι η εξίσωση $e^{-x} =x$ έχει μια και μοναδική θετική ρίζα. Ας την πούμε

, δηλαδή ισχύει $e^{-a} =a \,(*)$ οπότε και $e^{-2a}= a^2$ .

Η δοθείσα γράφεται $f(x) + e^{-x} f \left ( e^{-x} \right ) = x +e^{-2x}$ .

Ολοκληρώνουμε από

έως

, οπότε $\displaystyle{ \int _0^a f(x)dx + \int _0 ^ a e^{-x} f \left ( e^{-x} \right )dx = \frac {1}{2} a^2 - \dfrac {1}{2} (e^{-2a}-1) \,(**)}$

To δεύτερο ολοκλήρωμα με αλλαγή μεταβλητής $e^{-x} =t$ ισούται με $\displaystyle{ - \int _{1}^{e^{-a}}f(t)dt =^{(*)} -\int_1^a f(t) dt = \int _a^1f(t) dt}$ . Οπότε η (**)

γίνεται

$\displaystyle{\int _0^af(x)dx+ \int _a^1 f(x)dx = \dfrac {1}{2} (a^2-e^{-2a}) + \dfrac {1}{2} = 0 + \dfrac {1}{2} }$ , από όπου

$\displaystyle{\boxed {\int _0^1f(x)dx = \dfrac {1}{2}}}$

#3

Προς τον θεματοθέτη Τόλη: Έχεις άλλη λύση, πιο προσιτή, στο πρόβλημα; Από που είναι η άσκηση;

Προς όλους: Παρατηρώ ότι μία συνάρτηση που ικανοποιεί την δοθείσα είναι η f(x)=x

. Υπάρχει άλλη; Δεν γνωρίζω και θα ήθελα να μάθω.
Σχολιάζω μόνο ότι για το

του προηγούμενου ποστ ισχύει (απλό) f(a)=a

, δηλαδή συνηγορεί έστω αμυδρά ότι η f(x)=x

είναι η μόνη συνάρτηση.

Tolaso J Kos · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 06, 2021 11:05 am
Προς τον θεματοθέτη Τόλη: Έχεις άλλη λύση, πιο προσιτή, στο πρόβλημα; Από που είναι η άσκηση;

Μιχάλη , αυτή την ιδέα έχω δει και γω. Απλά εδώ δεν έδωσα το βοηθητικό ερώτημα ότι η $e^{-x}=x$ έχει ρίζα.

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση