Ολοκληρώματα- μέθοδος αντικατάστασης

Nikos2022 · #1

Χαιρετώ όλο το φόρουμ! Είμαι μαθητής της γ λυκείου και καθώς πρόσφατα διδαχτηκαμε τη μέθοδο αυτή μου δημιουργήθηκε μια απορια όσον αφορά την αντικατάσταση του συμβόλου

. Μέχρι τώρα είχαμε διδαχτεί πως το $\frac{d}{dx}$ δεν αποτελεί κλάσμα άλλα εκφράζει μια διαδικασία. Αν για παράδειγμα θέσουμε $u=5x+2\Rightarrow du= 5dx\Rightarrow dx=\frac{du}{5}$ πως έχουν νόημα οι παραπάνω πράξεις αφού είναι σύμβολα; Ένας μαθητής πως πρεπει να σκεφτεί στην προκειμένη περίπτωση; Παρακαλώ διορθώστε με αν στον συλλογισμό μου έχω κάνει κάπου λάθος.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

stranger · #2

Nikos2022 έγραψε: Πέμ Μαρ 10, 2022 4:27 pm Χαιρετώ όλο το φόρουμ! Είμαι μαθητής της γ λυκείου και καθώς πρόσφατα διδαχτηκαμε τη μέθοδο αυτή μου δημιουργήθηκε μια απορια όσον αφορά την αντικατάσταση του συμβόλου . Μέχρι τώρα είχαμε διδαχτεί πως το $\frac{d}{dx}$ δεν αποτελεί κλάσμα άλλα εκφράζει μια διαδικασία. Αν για παράδειγμα θέσουμε $u=5x+2\Rightarrow du= 5dx\Rightarrow dx=\frac{du}{5}$ πως έχουν νόημα οι παραπάνω πράξεις αφού είναι σύμβολα; Ένας μαθητής πως πρεπει να σκεφτεί στην προκειμένη περίπτωση; Παρακαλώ διορθώστε με αν στον συλλογισμό μου έχω κάνει κάπου λάθος.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Ουσιαστικά είναι ένας συμβολισμός και τίποτα παραπάνω..
Το

δεν σου λέει τίποτα παραπάνω ότι ολοκληρώνεις ως προς την μεταβλητή

.
Αυτό είναι χρήσιμο γιατί μπορεί η συνάρτηση να εξαρτάται από πολλές μεταβλητές.
π.χ. αν η συνάρτηση

δίνεται από τον τύπο f(x,y) = x + y^2

είναι διαφορετικό το $\int_{0}^{1} f(x,y) dx$ από το $\int_{0}^{1} f(x,y) dy$ .
Ο σωστός τρόπος να το δεις είναι ότι έτσι ξέρεις ως προς ποια μεταβλητή ολοκληρώνεις.
Όταν έχεις μια συνάρτηση π.χ. $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ , τότε το ολοκλήρωμα $\int_{0}^{1} f(x) dx$ , μπορείς να το γράψεις και $\int_{0}^{1} f$ , ακριβώς επειδή η μεταβλητή που ολοκληρώνεις είναι εμφανής.
Τώρα γιατί το γράφουμε

, ο λόγος προέρχεται πιο πολύ από τη φυσική..
Όταν τώρα κάνεις αλλαγή μεταβλητής στο ολοκλήρωμα σου το ds = g(x) dx

είναι συντομογραφία του γεγονότος ότι το ολοκλήρωμα που προκύπτει είναι ως πρός τη μεταβλητή

και χρειάζεται να πολλαπλασιάσεις με αυτή τη συνάρτηση.

Nikos2022 · #3

Σας ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση.
Πως προκυπτει ο νέος συμβολισμός τότε αφού θέσαμε ;

stranger · #4

Πάρε για παράδειγμα το $\int_{0}^{1} 2x e^{-x^2} dx$ .
Το θεώρημα αλλαγής μεταβλητής λέει ότι αυτό το ολοκλήρωμα είναι ίσο με $\int_{0}^{1} e^{-s} ds$ .
Θέσαμε δηλαδή, s = x^2

.
Με λίγα λόγια για το πρώτο ολοκλήρωμα θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x) = 2x e^{-x^2}$ και ολοκληρώνουμε ως προς τη μεταβλητή

και το δεύτερο θεωρούμε τη συνάρτηση $g(s) = e^{-s}$ .
Δεν έχει σημασία τόσο πολύ η μεταβλητή, σε νοιάζει πιο πολύ ποια είναι η συνάρτηση.
Μπορούσαμε κάλλιστα να γράψουμε $\int_{0}^{1} 2x e^{-x^2} dx = \int_{0}^{1} e^{-x} dx$ , δηλαδή να μην αλλάξουμε καν όνομα στη μεταβλητή.
Αν σε δυσκολεύει κάτι άλλο στην κατανόηση μη διαστάσεις να ρωτήσεις.
Νομίζω ότι κατανοώντας βαθιά το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ζωτικής σημασίας, ειδικά αν τελικά σπουδάσει κάποιος μαθηματικά στο πανεπιστήμιο.

#5

Κι άλλα εδώ και στις παραπομπές .

Nikos2022 · #6

Σας ευχαριστώ για την παραπομπή. Παρ' όλα αυτά ακόμη δεν έχω καταλάβει γιατί μπορούμε να κάνουμε την επόμενη πράξη $\frac{du}{dx}=f'(x)\Leftrightarrow du=f'(x)dx$ εφόσον είναι σύμβολα. Χρησιμοποιούμε το παραπάνω σαν να είναι κλάσμα επειδή προκύπτει σωστό αποτέλεσμα ή είναι κάτι παραπάνω απ' αυτό ;

stranger · #7

Nikos2022 έγραψε: Πέμ Μαρ 10, 2022 9:07 pm Σας ευχαριστώ για την παραπομπή. Παρ' όλα αυτά ακόμη δεν έχω καταλάβει γιατί μπορούμε να κάνουμε την επόμενη πράξη $\frac{du}{dx}=f'(x)\Leftrightarrow du=f'(x)dx$ εφόσον είναι σύμβολα. Χρησιμοποιούμε το παραπάνω σαν να είναι κλάσμα επειδή προκύπτει σωστό αποτέλεσμα ή είναι κάτι παραπάνω απ' αυτό ;

Υπάρχει λόγος που γίνεται αυτό. Ουσιαστικά είναι ολοκλήρωση διαφορικών μορφών. Το

είναι μια διαφορική μορφή.
Παρόλαυτα, όπως είπα και παραπάνω στα μαθηματικά γ λυκείου προφανώς δεν λέγεται ο αληθινός λόγος που το γράφουν έτσι.
Αν σε ενδιαφέρει τόσο πολύ να μάθεις τον λόγο, σε συμβουλεύω να κοιτάξεις ένα βιβλίο διαφορικής γεωμετρίας(π.χ. το Calculus on Manifolds του Spivak).
Για το επίπεδο γ λυκείου ισχύουν αυτά που έγραψα παραπάνω..

Nikos2022 · #8

Θα το κοιτάξω ναι, ευχαριστώ πολύ!

Ολοκληρώματα- μέθοδος αντικατάστασης

Ολοκληρώματα- μέθοδος αντικατάστασης

Re: Ολοκληρώματα- μέθοδος αντικατάστασης

Re: Ολοκληρώματα- μέθοδος αντικατάστασης

Re: Ολοκληρώματα- μέθοδος αντικατάστασης

Re: Ολοκληρώματα- μέθοδος αντικατάστασης

Re: Ολοκληρώματα- μέθοδος αντικατάστασης

Re: Ολοκληρώματα- μέθοδος αντικατάστασης

Re: Ολοκληρώματα- μέθοδος αντικατάστασης

Μέλη σε σύνδεση