ΟΡΙΟ ΕΜΒΑΔΟΥ

evitakron · #1

Γεια σας!
Πως θα μπορούσαμε να εξηγήσουμε το ότι το όριο του εμβαδού μεταξύ της γραφικής παράστασης της $f\left ( x \right )=\frac{1}{x^2}$ , του άξονα χ'χ και των ευθειών x=1

, $x=\lambda$ για $\lambda \rightarrow 0$ είναι $\infty$ ενώ για $\lambda \rightarrow \infty$ είναι 1; Φαίνεται λίγο παράδοξο μιας και τα δύο χωρία δείχνουν να αυξάνονται απεριόριστα... Ψάχνω μια χειροπιαστή απάντηση που αδυνατώ να δώσω.. Φυσικά, πολλοί θα θυμούνται ότι είναι άσκηση του σχολικού.

Edit: Πρόσθεσα την ευθεία ${\color{Red} x=1}$ που δεν είχε γραφτεί εκ παραδρομής.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

evitakron έγραψε: ↑
Παρ Απρ 15, 2022 9:16 pm
Γεια σας!
Πως θα μπορούσαμε να εξηγήσουμε το ότι το όριο του εμβαδού μεταξύ της γραφικής παράστασης της $f\left ( x \right )=\frac{1}{x^2}$ , του άξονα χ'χ και της ευθείας $x=\lambda$ για $\lambda \rightarrow 0$ είναι $\infty$ ενώ για $\lambda \rightarrow \infty$ είναι 1; Φαίνεται λίγο παράδοξο μιας και τα δύο χωρία δείχνουν να αυξάνονται απεριόριστα... Ψάχνω μια χειροπιαστή απάντηση που αδυνατώ να δώσω..

Το $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}=1$ σας φαίνεται και αυτό παράδοξο;

evitakron · #3

Προφανώς κ όχι...Απλά είναι ο τρόπος που αυξάνονται τα δύο χωριά που μου φαίνεται πανομοιότυπος.

#4

Μια ερμηνεία

Η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}},0<x\le 1$ , αντιστρέφεται με αντίστροφη την $\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},x\ge 1$
Τότε $\displaystyle \int\limits_{1}^{\lambda }{\frac{1}{\sqrt{x}}}dx=\int\limits_{1}^{\lambda }{\frac{2}{2\sqrt{x}}}dx=\left[ 2\sqrt{x} \right]_{1}^{\lambda }=2\sqrt{\lambda }-2$
άρα $\displaystyle \underset{\lambda \to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(2\sqrt{\lambda }-2)=+\infty$ και λόγω συμμετρίας το $\displaystyle \int_{0}^{1}{f(x)dx}$ θα τείνει στο άπειρο

#5

evitakron έγραψε: ↑
Παρ Απρ 15, 2022 11:07 pm
Προφανώς κ όχι...Απλά είναι ο τρόπος που αυξάνονται τα δύο χωριά που μου φαίνεται πανομοιότυπος.

Όχι βέβαια. Το μεν ένα αυξάνεται το δε άλλο μειώνεται (και μάλιστα προς το

και όχι στο

που αναφέρεις). Επίσης το δεύτερο είναι γνήσιο
υποσύνολο του άλλου, οπότε δεν υπάρχει λόγος να έχουν και τα δύο την ίδια οριακή τιμή.

#6

exdx έγραψε: ↑
Παρ Απρ 15, 2022 11:14 pm
Μια ερμηνεία

Η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}},0<x\le 1$ , αντιστρέφεται με αντίστροφη την $\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},x\ge 1$
Τότε $\displaystyle \int\limits_{1}^{\lambda }{\frac{1}{\sqrt{x}}}dx=\int\limits_{1}^{\lambda }{\frac{2}{2\sqrt{x}}}dx=\left[ 2\sqrt{x} \right]_{1}^{\lambda }=2\sqrt{\lambda }-2$
άρα $\displaystyle \underset{\lambda \to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(2\sqrt{\lambda }-2)=+\infty$ και λόγω συμμετρίας το $\displaystyle \int_{0}^{1}{f(x)dx}$ θα τείνει στο άπειρο

Γιώργο, δεν κατανοώ γιατί αυτό είναι ερμηνεία.

Τα ολοκληρώματα που μας ενδιαφέρουν είναι τα $\displaystyle \int\limits_{\lambda }^{\infty } {\frac{1}{x^2}}dx$ για α) $\lambda \to 0+$ και, χωριστά, β) $\lambda \to +\infty$ . Όπως έγραψα στο προηγούμενό μου ποστ, αφού το δεύτερο εμβαδόν είναι γνήσια μέσα στο πρώτο και αφού το μεν ένα ολοκλήρωμα αυξάνει το δε δεύτερο μειώνεται με την μεταβολή του λ, δεν πρέπει να μας παραξενεύει ότι έχουν άλλη οριακή τιμή.

Edit: Βλέπε το παρακάτω ποστ μου.

evitakron · #7

Ζητώ συγγνώμη από όλους, αλλα ξέχασα να αναφέρω μια κατακόρυφη ευθεία, δηλαδή όταν το χωριό δημιουργείται μεταξύ της γραφικής παράστασης της $f\left ( x \right )=\frac{1}{x^2}$ , του άξονα χ'χ και των ευθειων x=1

, $x=\lambda$ , για $\lambda \rightarrow 0$ είναι $\infty$ ενώ για $\lambda \rightarrow \infty$ είναι

.

#8

Τα δυο εμβαδά δεν είναι πανομοιότυπα .

#9

evitakron έγραψε: ↑
Παρ Απρ 15, 2022 11:30 pm
Ζήτω συγγνώμη από όλους, αλλα ξέχασα να αναφέρω μια κατακόρυφη ευθεία, δηλαδή όταν το χωριό δημιουργείται μεταξύ της γραφικής παράστασης της $f\left ( x \right )=\frac{1}{x^2}$ , του άξονα χ'χ και των ευθειων , $x=\lambda$ , για $\lambda \rightarrow 0$ είναι $\infty$ ενώ για $\lambda \rightarrow \infty$ είναι .

Τότε το σχόλιο που έγραψα παραπάνω μπορεί να αγνοηθεί αφού απαντά σε άλλο ερώτημα.

ΟΡΙΟ ΕΜΒΑΔΟΥ

ΟΡΙΟ ΕΜΒΑΔΟΥ

Re: ΟΡΙΟ ΕΜΒΑΔΟΥ

Re: ΟΡΙΟ ΕΜΒΑΔΟΥ

Re: ΟΡΙΟ ΕΜΒΑΔΟΥ

Re: ΟΡΙΟ ΕΜΒΑΔΟΥ

Re: ΟΡΙΟ ΕΜΒΑΔΟΥ

Re: ΟΡΙΟ ΕΜΒΑΔΟΥ

Re: ΟΡΙΟ ΕΜΒΑΔΟΥ

Re: ΟΡΙΟ ΕΜΒΑΔΟΥ

Μέλη σε σύνδεση