Με δοθείσα αφορμή (Data occasione)

#1

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ με αντίστοιχους τύπους:
$\displaystyle{f(x)=x}$
και
$\displaystyle{ g(x)=\left| \frac{3}{4}x^2-3 \right |-2 }$

των οποίων τα γραφήματα φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

: Σχέση εμβαδών 1.png (29.95 KiB) Προβλήθηκε 2587 φορές

Να δειχθεί ότι τα χωρία με πράσινο χρώμα έχουν συνολικό εμβαδόν ίσο με εκείνο που έχει χρώμα θαλασσί.

Αφορμή: viewtopic.php?f=54&t=73342

vgreco · #2

KDORTSI έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 01, 2023 11:53 pm
Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ με αντίστοιχους τύπους:
$\displaystyle{f(x)=x}$
και
$\displaystyle{ g(x)=\left| \frac{3}{4}x^2-3 \right |-2 }$

των οποίων τα γραφήματα φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

Σχέση εμβαδών 1.png

Να δειχθεί ότι τα χωρία με πράσινο χρώμα έχουν συνολικό εμβαδόν ίσο με εκείνο που έχει χρώμα θαλασσί.

Αφορμή: viewtopic.php?f=54&t=73342

: data_occasione.png (16.68 KiB) Προβλήθηκε 1995 φορές

Δουλέυω για x > 0

. Τα σημεία τομής της

με τη

είναι τα $\biggl(\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3} \biggr)$ και $\biggl(\dfrac{10}{3}, \dfrac{10}{3} \biggr)$ . Ακόμη, οι τετμημένες των σημείων τομής της

με τους άξονες είναι:

$\displaystyle{ \left| \dfrac{3}{4}x^2 - 3 \right | - 2 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{4} x^2 - 3 = 2 \quad \text{\textgreek{ή}} \quad \dfrac{3}{4} x^2 - 3 = -2 \Leftrightarrow x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \quad \text{\textgreek{ή}} \quad x = \dfrac{2\sqrt{15}}{3} }$
Εύκολα διαπιστώνω ότι ανάμεσα από αυτά τα σημεία, η

είναι αρνητική, ενώ εκατέρωθεν αυτών (για x > 0

) παίρνει θετικές τιμές. Άρα (για x > 0

):

$\displaystyle{ g(x) = \begin{cases} \dfrac{3x^2}{4} - 5, \quad x \ge 2 \\[0.1in] 1 - \dfrac{3x^2}{4}, \quad x <2 \\[0.12in] \end{cases} \qquad \text{\textgreek{και}} \qquad \bigl| g(x) \bigr| = \begin{cases} \dfrac{3x^2}{4} - 5, \quad &x\ge \dfrac{2\sqrt{15}}{3} \\[0.1in] 5 - \dfrac{3x^2}{4}, \quad &\dfrac{2\sqrt{15}}{3} > x \ge 2 \\[0.1in] \dfrac{3x^2}{4} - 1, \quad &2 > x \ge \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\[0.1in] 1 - \dfrac{3x^2}{4}, \quad &\dfrac{2\sqrt{3}}{3} > x \ge 0 \end{cases} }$
Τώρα:

$\displaystyle{ \begin{aligned} E_{\text{\textgreek{πράσινο}}} = \int_\frac{2}{3}^\frac{2\sqrt{3}}{3} \bigl| g(x) \bigr| \,\mathrm{d}x + \int_\frac{2\sqrt{15}}{3}^\frac{10}{3} \bigl| g(x) \bigr| \,\mathrm{d}x &= \int_\frac{2}{3}^\frac{2\sqrt{3}}{3} \Biggl( 1 - \dfrac{3x^2}{4} \Biggr) \,\mathrm{d}x + \int_\frac{2\sqrt{15}}{3}^\frac{10}{3} \Biggl( \dfrac{3x^2}{4} - 5 \Biggr) \,\mathrm{d}x \\[0.1in] &= \Biggl[ x - \dfrac{x^3}{4} \Biggr]_\frac{2}{3}^\frac{2\sqrt{3}}{3} + \Biggl[ \dfrac{x^3}{4} - 5x \Biggr]_\frac{2\sqrt{15}}{3}^\frac{10}{3} \end{aligned} }$
και:

$\displaystyle{ \begin{aligned} E_{\text{\textgreek{θαλασσί}}} = \int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{\frac{2\sqrt{15}}{3}} \bigl| g(x) \bigr| \, \mathrm{d}x &= \int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^2 \bigl| g(x) \bigr| \, \mathrm{d}x + \int_{2}^{\frac{2\sqrt{15}}{3}} \bigl| g(x) \bigr| \, \mathrm{d}x \\[0.1in] &= \int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^2 \Biggl( \dfrac{3x^2}{4} - 1 \Biggr) \, \mathrm{d}x + \int_{2}^{\frac{2\sqrt{15}}{3}} \Biggl(5 - \dfrac{3x^2}{4} \Biggr) \, \mathrm{d}x \\[0.1in] &= -\Biggl[ x - \dfrac{x^3}{4} \Biggr]_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^2 - \Biggl[ \dfrac{x^3}{4} - 5x \Biggr]_{2}^{\frac{2\sqrt{15}}{3}} \\[0.1in] &= \Biggl[ x - \dfrac{x^3}{4} \Biggr]^{\frac{2\sqrt{3}}{3}}_2 + \Biggl[ \dfrac{x^3}{4} - 5x \Biggr]^{2}_{\frac{2\sqrt{15}}{3}} \end{aligned} }$
Για να ισχύει το ζητούμενο, αρκεί να είναι:

$\displaystyle{ -\Biggl( \dfrac{2}{3} - \dfrac{\bigl( \frac{2}{3} \bigr)^3 }{4} \Biggr) + \Biggl( \dfrac{\bigl( \frac{10}{3} \bigr)^3 }{4} - 5 \cdot \dfrac{10}{3} \Biggr) = - \Biggl( 2 - \dfrac{2^3}{4} \Biggr) + \Biggl( \dfrac{2^3}{4} - 5 \cdot 2 \Biggr) \Leftrightarrow -8 = -8 }$
που προφανώς αληθεύει.

Με δοθείσα αφορμή (Data occasione)

Με δοθείσα αφορμή (Data occasione)

Re: Με δοθείσα αφορμή (Data occasione)

Μέλη σε σύνδεση