Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: R BORIS

Απάντηση
Dimessi
Δημοσιεύσεις: 388
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 10, 2023 3:48 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#461

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimessi »

Ξεχάστηκε η 146. Καλό αλλά όχι για σχολείο. :)
Θα δείξω επαγωγικά ως προς τα περιττά θετικά ακέραια n ότι
\displaystyle \frac{1}{x^{n}\left ( x+1 \right )}=A_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{k+1}}{x^{k}}+\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{x+1}
που θα είναι η επαγωγική υπόθεση γιατί τσεκάρωντας με το χέρι για n=1 ισχύει
Τότε
\displaystyle A_{n+2}=\frac{1}{x^{2}}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{k+1}}{x^{k}}+\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{x+1} \right)=\sum_{k=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{k+1}}{x^{k+2}}+\left ( -1 \right )^{n}\left ( \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1} \right )=
\displaystyle \sum_{m=3}^{n+2}\frac{\left ( -1 \right )^{m-1}}{x^{m}}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+\frac{\left ( -1 \right )^{n+2}}{x+1}=\sum_{m=1}^{n+2}\frac{\left ( -1 \right )^{m+1}}{x^{m}}+\frac{\left ( -1 \right )^{n+2}}{x+1}
όπως θέλαμε. \blacksquare
Οπότε για περιττά θετικά ακέραια n έχουμε
\displaystyle I_{n}=\int \left ( \sum_{k=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{k+1}}{x^{k}}-\frac{1}{x+1} \right )dx=\sum_{k=2}^{n}\left ( -1 \right )^{k+1}\cdot \frac{x^{1-k}}{1-k}+\ln \left |x \right|-\ln \left | x+1\right |+C
Με παρόμοιο τρόπο για άρτια n έχουμε
\displaystyle I_{n}=\int \left ( \sum_{k=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{k}}{x^{k}}+\frac{1}{x+1} \right )dx=\sum_{k=2}^{n}\left ( -1 \right )^{k}\cdot \frac{x^{1-k}}{1-k}-\ln \left |x \right|+\ln \left | x+1\right |+C
Για ακέραια n\leqslant 0 είναι ομορφότερο ολοκλήρωμα και δίνει \displaystyle -\mathrm{L_{i}}_{1-n}\left ( -x \right )+C :)
Ετικέτες:
Ολοκλήρωμα
Συλλογή-ασκήσεων
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης