ΑΝΙΣOΤΙΚΗ -ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Tkostas · #1

Μια βοήθεια παρακαλώ στην παρακάτω ανίσωση:

Δίνεται f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] και ισχύει f'(x)<0 για κάθε χ στο [α,β]. Να αποδειχθεί ότι

$\int_{a}^{b}{xf(x)dx}<\frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}{f(x)dx}$

Αν είναι δυνατόν δώστε μου σύντομα μια βοήθεια .
Ευχαριστώ.

#2

Tkostas έγραψε:Μια βοήθεια παρακαλώ στην παρακάτω ανίσωση:

Δίνεται f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] και ισχύει f'(x)<0 για κάθε χ στο [α,β]. Να αποδειχθεί ότι

$\int_{a}^{b}{xf(x)dx}<\frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}{f(x)dx}$

Αν είναι δυνατόν δώστε μου σύντομα μια βοήθεια .
Ευχαριστώ.

Υπόδειξη: Κάνε ολοκλήρωση κατά παράγοντες στο

$\int_{a}^{b}{( \frac{a+b}{2}-x)f(x)dx}= -\frac{1}{2} \int_{a}^{b}[( \frac{a+b}{2}-x)^2}]^\prime {f(x)dx}$

Αυτό που θα βγεί είναι > 0 (θα χρειαστεί να πεις ότι f '(x)<0 και ότι η f είναι φθίνουσα, άρα f(b) < f(a) ).

Φιλικά και καλό διάβασμα,

Μιχάλης

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

Άλλος τρόπος :
Τα φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος . Στη θέση του b βάζουμε t . Θεωρούμε τη συνάρτηση g(t) και δουλεύουμε με τη μονοτονία της g ...

ΑΝΙΣOΤΙΚΗ -ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΑΝΙΣOΤΙΚΗ -ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΑΝΙΣOΤΙΚΗ -ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΑΝΙΣOΤΙΚΗ -ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Μέλη σε σύνδεση