όριο με ολοκλήρωμα

Paolos · #1

Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^\chi {\left( {1 + \frac{1}{{2{t^2}}}} \right) \cdot {e^{1 - {t^2}}}dt} }$

#2

Paolos έγραψε:Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^\chi {\left( {1 + \frac{1}{{2{t^2}}}} \right) \cdot {e^{1 - {t^2}}}dt} }$

...Ας ολοκληρώσουμε το όριο....

ΛΥΣΗ

Είναι $\int\limits_{1}^{x}{\left( 1+\frac{1}{2{{t}^{2}}} \right)\cdot {{e}^{1-{{t}^{2}}}}dt}=\int\limits_{1}^{x}{\left( {{e}^{1-{{t}^{2}}}}+\frac{{{e}^{1-{{t}^{2}}}}}{2{{t}^{2}}} \right)dt}=\int\limits_{1}^{x}{\left( {{e}^{1-{{t}^{2}}}}-{{\left( \frac{1}{2t} \right)}^{\prime }}{{e}^{1-{{t}^{2}}}} \right)dt}=$

$=\int\limits_{1}^{x}{\left( \left( -\frac{1}{2t} \right){{e}^{1-{{t}^{2}}}}(-2t)+{{\left( -\frac{1}{2t} \right)}^{\prime }}{{e}^{1-{{t}^{2}}}} \right)dt}=$

$=\int\limits_{1}^{x}{\left( \left( -\frac{1}{2t} \right)({{e}^{1-{{t}^{2}}}}{)}'+{{\left( -\frac{1}{2t} \right)}^{\prime }}{{e}^{1-{{t}^{2}}}} \right)dt}=\int\limits_{1}^{x}{{{\left( -\frac{{{e}^{1-{{t}^{2}}}}}{2t} \right)}^{\prime }}dt}=-\frac{1}{2}\left[ \frac{{{e}^{1-{{t}^{2}}}}}{t} \right]_{1}^{x}$ =

$-\frac{1}{2}\left( \frac{{{e}^{1-{{x}^{2}}}}}{x}-1 \right)=\frac{1}{2}-\frac{{{e}^{1-{{x}^{2}}}}}{2x}$ επομένως

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{1}^{\chi }{\left( 1+\frac{1}{2{{t}^{2}}} \right)\cdot {{e}^{1-{{t}^{2}}}}dt}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{2}-\frac{{{e}^{1-{{x}^{2}}}}}{2x} \right)=\frac{1}{2}$

γιατί $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{1-{{x}^{2}}}}}{2x} \right)\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{2x}{{e}^{1-{{x}^{2}}}} \right)=0\cdot 0=0$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Paolos · #3

Ευχαριστώ! !

mathematica.gr

όριο με ολοκλήρωμα

όριο με ολοκλήρωμα

Re: όριο με ολοκλήρωμα

Re: όριο με ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση