Εύρεση συνάρτησης

NikosB · #1

Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:[0,1]->R για την οποία ισχύει. $\int_{0}^{1}(xf(x)-f^{2}(x))dx=1/12$
Την προσπάθησα Αλλά δεν την κατάφερα και χρειάζομαι μια υπόδειξη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Υπόδειξη.

$\frac{1}{12}=\int_{0}^{1}(\frac{x}{2})^{2}dx$

nikos18 · #3

ισχύει ότι $\int_{0}^{1}\left (f^{2}(x)-xf(x)\right)dx=\frac{-1}{12}\Leftrightarrow \int_{0}^{1}\left (f^{2}(x)-2\frac{x}{2}f(x)+\frac{x^{2}}{4} \right)dx=\frac{-1}{12}+\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{4}$

άρα $\int_{0}^{1}\left (f(x)-\frac{x}{2} \right)^{2}dx=0$ και επειδή $\left (f(x)-\frac{x}{2} \right )^{2}\geqslant 0$ για κάθε $x\epsilon [0,1]$ , θα είναι f(x)=x/2

.

mathematica.gr

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση