Ανισότητα

JimVerman · #1

Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle{\int_{1}^{\frac{1}{x}}\frac{e^{xt}}{t^{2}}dt\leq e\left ( 1-x \right )}$ με x>0

.

#2

JimVerman έγραψε:Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle{\int_{1}^{\frac{1}{x}}\frac{e^{xt}}{t^{2}}dt\leq e\left ( 1-x \right )}$ με .

$\displaystyle{\int\limits_1^{\frac{1}{x}} {\frac{{{e^{xt}}}}{{{t^2}}}} dt \le e\left( {1 - x} \right) \Leftrightarrow \int\limits_1^{\frac{1}{x}} {\frac{{{e^{xt}}}}{{{{\left( {xt} \right)}^2}}}x\,} dt \le \frac{{e\left( {1 - x} \right)}}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop \Leftrightarrow \limits^{xt = u,du = xdt} \,\,\,\,\,\,\,\int\limits_x^1 {\frac{{{e^u}}}{{{u^2}}}du} - \frac{{e\left( {1 - x} \right)}}{x} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{e\left( {1 - x} \right)}}{x} + \int\limits_1^x {\frac{{{e^u}}}{{{u^2}}}du} \ge 0}$
Έστω : $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,\,F(x) = \frac{{e\left( {1 - x} \right)}}{x} + \int\limits_1^x {\frac{{{e^u}}}{{{u^2}}}du} \,\,\,,\,\,x > 0}$
Η $\displaystyle{\,\,F\,\,}$ είναι παραγωγίσιμη ως …. με $\displaystyle{\,\,\,F'(x) = {\left( {\frac{{e\left( {1 - x} \right)}}{x} + \int\limits_1^x {\frac{{{e^u}}}{{{u^2}}}du} } \right)^\prime } = - \frac{e}{{{x^2}}} + \frac{{{e^x}}}{{{x^2}}} = \frac{{{e^x} - e}}{{{x^2}}}}$
και $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,F'(x) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1}$
Άρα η $\displaystyle{\,\,F\,\,}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\,\,(0,1]\,\,}$ και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\,\,\,\,[1, + \infty )\,}$
Επομένως παρουσιάζει ελάχιστο στο $\displaystyle{\,\,x = 1\,\,}$ ίσο με $\displaystyle{\,\,F(1) = 0\,\,\,}$
Άρα $\displaystyle{\,\,\,F(x) \ge 0\,}$ για κάθε $\displaystyle{\,\,\,\,x > 0\,\,}$

FERMA · #3

JimVerman έγραψε:Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle{\int_{1}^{\frac{1}{x}}\frac{e^{xt}}{t^{2}}dt\leq e\left ( 1-x \right )}$ με .

Η άσκηση λύνεται και με χρήση γνωστής ανισότητας ολοκληρωμάτων. Την δίνω σε Hint

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

G.Bas · #4

JimVerman έγραψε:Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle{\int_{1}^{\frac{1}{x}}\frac{e^{xt}}{t^{2}}dt\leq e\left ( 1-x \right )}$ με .

Ισχύει $\displaystyle{\frac{e^{xt}}{t^2}\leq\frac{e}{t^2}.}$

Τα υπόλοιπα εύκολα

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση