ΣΧΕΣΗ ΘΜΤΟΛ ΜΕ ΘΜΤ

Συντονιστής: R BORIS

ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 08, 2011 2:40 pm

ΣΧΕΣΗ ΘΜΤΟΛ ΜΕ ΘΜΤ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ » Τετ Ιούλ 27, 2011 6:05 pm

Γεία χάρα στο :logo: .Θα ηθέλα να ρωτήσω αν υπάρχει ειδική κατηγορία συναρτήσεων στις οποίες το \xi του Θεωρήματος μέσης τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού ταυτίζετε με αυτό του Διαφορικού.Πιο συγκεκριμένα έχω f(x)=e^x στο [0,1].Απ'ο το θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού στο [0,1] f(\xi )=\frac{\int_{0}^{1}{e^x}}{1-0}\Leftrightarrow e^\xi =e-1\Leftrightarrow \xi =ln(e-1).Τώρα εφαρμόζοντας για την ίδια συνάρτηση το Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισμού f'(\xi )=\frac{e^1-e^0}{1-0}\Leftrightarrow e^x=e-1\Leftrightarrow \xi =ln(e-1).Άρα πρόκειτε για το ίδιο \xi.Υπάρχει γεωμετρική σημασία σε αυτο το γεγονός?
Αν κάνω την ίδια διαδικασία για την f(x)=lnx στο [0,1] δεν βγαίνει το ίδιο \xi.
Τι συμβαίνει?
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Παρ Ιούλ 29, 2011 11:21 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση Κώδικα LaTeX


Μπουμπουλής Κώστας
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am

Re: ΣΧΕΣΗ ΘΜΤΟΛ ΜΕ ΘΜΤ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπουμπουλής Κώστας » Τετ Ιούλ 27, 2011 11:47 pm

Σου μεταφέρω τα εξής, όπως τα διαβάζω απὀ το βιβλίο του Ηλία Κωνσταντόπουλου, σελίδα 371, "Μαθηματικά Γ΄Λυκείου , 2ο τεύχος" εκδόσεις Γκπίτζαλης (μη θεωρηθεί διαφήμηση απλά έτυχε να το αγοράσω πέρυσι και μάλλον μόνο αυτό κατάφερα να διαβάσω, και το θυμήθηκα):

Σε κάθε εκθετική συνάρτηση (συμπεριλαμβανομένων των f(x)= c\cdot a^x) και σε κάθε διάστημα το σημείο ξ του ΘΜΤ του διαφορικού λογισμού και το ξ του ΘΜΤΟΛ ταυτίζονται.
Εικασία
Δεν υπάρχει άλλη (στοιχειώδης) συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα.

Σε καμία άλλη συνάρτηση από όσες δοκίμασε (όπως λέει) δεν ισχύει η ταύτιση των δύο σημείων σε κάθε διάστημα.

Κώστας


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12188
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΣΧΕΣΗ ΘΜΤΟΛ ΜΕ ΘΜΤ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιούλ 28, 2011 4:25 pm

ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ έγραψε:Γεία χάρα στο :logo: .Θα ηθέλα να ρωτήσω αν υπάρχει ειδική κατηγορία συναρτήσεων στις οποίες το ξ του Θεωρήματος μέσης τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού ταυτίζετε με αυτό του Διαφορικού.Πιο συγκεκριμένα έχω f(x)=e^x στο [0,1].Απ'ο το θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού στο [0,1]f(\xi )=\frac{\int_{0}^{1}{e^x}}{1-0}\Leftrightarrow e^\xi =e-1\Leftrightarrow \xi =ln(e-1).Τώρα εφαρμόζοντας για την ίδια συνάρτηση το Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισμού f'(\xi )=\frac{e^1-e^0}{1-0}\Leftrightarrow e^x=e-1\Leftrightarrow \xi =ln(e-1).Άρα πρόκειτε για το ίδιο ξ.Υπάρχει γεωμετρική σημασία σε αυτο το γεγονός?
Αν κάνω την ίδια διαδικασία για την f(x)=lnx στο [0,1] δεν βγαίνει το ίδιο ξ.
Τι συμβαίνει?

Επειδή εν γένει υπάρχουν πολλά \xi που υλοποιούν το Θ.Μ.Τ. ας μείνουμε σε μονότονες συναρτήσεις όπου το \xi είναι μοναδικό.

Τα δύο (μοναδικά) \xi των αντίστοιχων θεωρημάτων ταυτίζονται στο διάστημα [0,1] αν και μόνον

\displaystyle { \int _0^1 f(x)dx = f(1)-f(0) (*).

Τέτοιες οικογένειες συναρτήσεων υπάρχουν άπειρες. Π.χ. από την (*) βρίσκουμε ότι οι γραμμικές f(x)=ax+b είναι αυτές με a=2b. Όμοια, λύνοντας την (*), μπορούμε να βρούμε όσα πολυώνυμα θέλουμε, οποιαδήποτε βαθμού. Όμοια βρίσκουμε συναρτήσεις της μορφής a\sin x +b αν επιλέξουμε b = a(-1 + \cos 1 + \sin 1) και πάει λέγοντας.

Τώρα, αν θέλουμε να ισχύει το παραπάνω σε κάθε διάστημα, τότε η συνθήκη γίνεται \displaystyle { \int _a^t f(x)dx = f(t)-f(a). Παραγωγίζοντας έχουμε f(t) =f ^{\prime }(t) από όπου f(t)=ce^t, και καμία άλλη.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KDORTSI και 1 επισκέπτης