Ολοκλήρωμα και ανισότητα

mathxl · #1

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\displaystyle \smallint _{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\ln (1 - \eta \mu \theta )d\theta < \frac{1}{4}\left( {1 - \frac{\pi }{2}} \right)}$

2004 Hirosaki University

#2

ΛΗΜΜΑ

Ίσχύει: $\displaystyle{\displaystyle \int\limits_{ - \frac{\pi } {4}}^{\frac{\pi } {4}} {\ln \left( {1 - \sin \vartheta } \right)} d\vartheta = \int\limits_{ - \frac{\pi } {4}}^{\frac{\pi } {4}} {\ln \left( {1 + \sin \vartheta } \right)} d\vartheta }$ .

Απόδειξη

Θέτοντας θ=-u προκύπτει εύκολα....

ΛΥΣΗ

$\displaystyle{\displaystyle \cos ^2 \vartheta = \left( {1 - \sin \vartheta } \right)\left( {1 + \sin \vartheta } \right) \wedge \cos \vartheta > 0,\forall \vartheta \in \left[ { - \frac{\pi } {4},\frac{\pi } {4}} \right] }$ (1).
Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας είναι θετικά, λαμβανουμε λογάριθμους...
Προκύπτει και λόγω της (1):

$\displaystyle{\displaystyle 2\ln \cos \vartheta = \ln \left( {1 - \sin \vartheta } \right) + \ln \left( {1 + \sin \vartheta } \right),\vartheta \in \left[ { - \frac{\pi } {4},\frac{\pi } {4}} \right] }$ . Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη και μετά απο χρήση του Λήμματος, έχουμε:

$\displaystyle{\displaystyle \int\limits_{ - \frac{\pi } {4}}^{\frac{\pi } {4}} {\ln \left( {\cos \vartheta } \right)} d\vartheta = \int\limits_{ - \frac{\pi } {4}}^{\frac{\pi } {4}} {\ln \left( {1 - \sin \vartheta } \right)} d\vartheta }$ .

Όμως $\displaystyle{\displaystyle \ln x \leqslant x - 1,x > 0 }$ και για x=cosθ>0 έχουμε: $\displaystyle{\displaystyle \ln \left( {\cos \vartheta } \right) \leqslant \cos \vartheta - 1 \Rightarrow \int\limits_{ - \frac{\pi } {4}}^{\frac{\pi } {4}} {\ln \left( {\cos \vartheta } \right)} d\vartheta \leqslant \int\limits_{ - \frac{\pi } {4}}^{\frac{\pi } {4}} {(\cos \vartheta - 1)d\vartheta = \sqrt 2 - \frac{\pi } {2}} }$ .
Αρκεί τώρα : $\displaystyle{\displaystyle \sqrt 2 - \frac{\pi } {2} < \frac{1} {4}\left( {1 - \frac{\pi } {2}} \right) }$ ή καλύτερα:
$\displaystyle{\displaystyle 4\left( {\sqrt 2 - \frac{\pi } {2}} \right) < 1 - \frac{\pi } {2} }$ , το οποίο ισχύει... γιατί μετά απο πράξεις καταλήγουμε στη : $\displaystyle{\displaystyle 8\sqrt 2 < 3\pi + 2 }$ που είναι αληθής (πέρα απο τις αριθμητικές - μπακαλοπράξεις , ψάχνω ακόμα μια πιο αλγεβρική δικαιολογηση)

Υ.Γ
Ααααχχχ Hirosaki τι μου θυμίζει...

Ιστοσελίδα · #3

Τελικά ο Hirosakis μας έχει βάλει σε μπελάδες, ο Χρήστος προφανώς έχει φράξει καλύτερα το ολοκλήρωμα από ότι ο Hirosaki
και γι’ αυτόν τον λόγο στο τέλος υποχρεώνεται να αποδείξει ότι το δικό του φράγμα $\sqrt 2 - \frac{\pi }{2}$
είναι μικρότερο από το $\frac{1}{4}\left( {1 - \frac{\pi }{2}} \right)$ όπου και καλά έκανε για να αποδείξει την σχέση.

Παρατηρώντας το $\frac{1}{4}\left( {1 - \frac{\pi }{2}} \right)$ ανακάλυψα ότι προκύπτει από το ολοκλήρωμα

$- \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\eta \mu ^2 \theta d\theta } = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 - \sigma \upsilon \nu 2\theta }}{2}d\theta } = ... = \frac{1}{4}\left( {1 - \frac{\pi }{2}} \right)$

Η σκέψη πηγαίνει στην παρατήρηση του mathxl σε άλλη άσκηση και πήρα την σχέση

$\ln (x + 1) \le x$ για κάθε x > -1

Όπου για $x = - \eta \mu ^2 \theta$ προκύπτει ότι

$\ln (1 - \eta \mu ^2 \theta ) \le - \eta \mu ^2 \theta$

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (1 - \eta \mu ^2 \theta )} d\theta \le \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} { - \eta \mu ^2 \theta } d\theta$

Επομένως αρκεί να δειχτεί ότι:

$\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln (1 - \eta \mu \theta )d\theta } = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (1 - \eta \mu ^2 \theta )} d\theta$ ή

$\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln (1 - \eta \mu \theta )d\theta } < \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (1 - \eta \mu ^2 \theta )} d\theta$

Βέβαια σε αντιστοιχία με τον Χρήστο έχουμε ότι

$1 - \eta \mu ^2 \theta = (1 - \eta \mu \theta )(1 + \eta \mu \theta )$

$\ln \left( {1 - \eta \mu ^2 \theta } \right) = \ln (1 - \eta \mu \theta ) + \ln (1 + \eta \mu \theta )$

Με το λογισμικό geogebra «φαίνεται» (δεν το έχω αποδείξει) ότι κάνοντας τις γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων προκύπτει ότι

$\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {1 - \eta \mu \theta } \right)} d\theta = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (1 - \eta \mu ^2 \theta )d\theta }$

Όπου η απόδειξη του τελειώνει την άσκηση, εδώ λοιπόν χρειάζομαστε την βοήθεια του mathxl ή κάποιου άλλου συναδέλφου.
Άντε νάλθει η Τετάρτη να πιούμε κανένα κρασί γιατί δεν πάει άλλο αυτή η κατάσταση.

#4

spyrosk έγραψε:
Με το λογισμικό geogebra «φαίνεται» (δεν το έχω αποδείξει) ότι κάνοντας τις γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων προκύπτει ότι

$\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {1 - \eta \mu \theta } \right)} d\theta = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (1 - \eta \mu ^2 \theta )d\theta }$

Όπου η απόδειξη του τελειώνει την άσκηση, εδώ λοιπόν χρειάζομαστε την βοήθεια του mathxl ή κάποιου άλλου συναδέλφου.
Άντε νάλθει η Τετάρτη να πιούμε κανένα κρασί γιατί δεν πάει άλλο αυτή η κατάσταση.

$\displaystyle\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}ln(1-sin\theta)d\theta=\displaystyle\int_{\frac{-\pi}{4}}^{0}ln(1-sin\theta)d\theta+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}ln(1-sin\theta)d\theta$

στο πρώτο ολοκλήρωμα θέτουμε $\theta=-u,d\theta=-d u$ , αλλάζουμε τα άκρα και έχουμε

$\displaystyle\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}ln(1-sin\theta)d\theta=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}ln(1+sin u)du+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}ln(1-sin\theta)d\theta$

δηλαδή

$\displaystyle\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}ln(1-sin\theta)d\theta=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}ln(1-sin^{2}\theta)d\theta$

mathxl · #5

[quote="chris_gatos"]ΛΗΜΜΑ

Ίσχύει: $\displaystyle{\displaystyle \int\limits_{ - \frac{\pi } {4}}^{\frac{\pi } {4}} {\ln \left( {1 - \sin \vartheta } \right)} d\vartheta = \int\limits_{ - \frac{\pi } {4}}^{\frac{\pi } {4}} {\ln \left( {1 + \sin \vartheta } \right)} d\vartheta }$ .

quote]
Καλημέρα

Μπορούμε αν θέλουμε να ονομάσουμε Ι το ζητούμενο ολοκλήρωμα και από το λήμμα του Χρήστου
2Ι= το ολοκλήρωμα του Σπύρου κτλ

Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση