Ταλαίπωρη

nikos_aggo · #1

Να δείξετε ότι για κάθε x>0

ισχύει $|\int_{x}^{x+1}\sin(t^2)dt|\leq\frac{2}{x^2}$ .
Την έχω προσπαθήσει με διάφορους τρόπους αλλα δεν μου βγαίνει. Ενδεχομένως να πρέπει να μεταφερθεί στον Φάκελο ΑΕΙ.

#2

Δεν φαίνεται να είναι σωστή.

Π.χ. για x=11.4

η τιμή του ολοκληρώματος είναι περίπου 0.0218,

ενώ 2/11.4^2

είναι περίπου 0.01539

(χρησιμοποιώντας τη σελίδα http://www.wolframalpha.com/).

εκείνο που μπορούμε να αποδείξουμε όμως είναι ότι

$\Big| \int_x^{x+1} \sin (t^2)dt \Big|\leq \frac{1}{x}$ .

Με αλλαγή μεταβλητής s=t^2

παίρνουμε

$\displaystyle{\int_x^{x+1} \sin (t^2)dt=\int_{x^2}^{(x+1)^2} \frac{\sin (s)}{2\sqrt{s}}ds}$

το οποίο με ολοκλήρωση κατά μέρη με $u=\frac{1}{2\sqrt{s}}$ και $dv=\sin (s) ds$ γίνεται

$\displaystyle{\int_{x^2}^{(x+1)^2} \frac{\sin (s)}{2\sqrt{s}}ds=\frac{-\cos (s)}{2\sqrt{s}}\Big|_{s=x^2}^{s=(x+1)^2}-\frac{1}{4}\int_{x^2}^{(x+1)^2}\frac{\cos(s)}{s^{3/2}}ds=\frac{\cos (x^2)}{2x}-\frac{\cos ((x+1)^2)}{2(x+1)}-\frac{1}{4}\int_{x^2}^{(x+1)^2}\frac{\cos(s)}{s^{3/2}}ds}$ .

Έτσι, αφού $\int_{x^2}^{(x+1)^2}\frac{ds}{s^{3/2}}=\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1}$ είναι

$\Big| \int_x^{x+1} \sin (t^2)\dt \Big|\leq \frac{1}{2x}+\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{4}\left(\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1}\right)=\frac{1}{x}$

peter · #3

Νίκο, όπως σωστά παρατήρησε ο Αχιλλέας η άσκηση είναι λάθος! (Μάλιστα ήταν προτεινόμενη σε ένα τεύχος του Crux).

Η καλύτερη ανισότητα που μπορεί να έχει κανείς (και ως προς την τάξη του

και ως προς τη σταθερά) είναι η: $\displaystyle \left|\int_x^{x+1}\sin (t^2)\, dt\right|<\frac{1}{x}$ .

Αυτό διότι μπορεί να δείξει κανείς ότι: $\displaystyle \limsup\limits_{x\to \infty} \left|x \int_x^{x+1}\sin (t^2)\, dt\right|=1$ .

Γι' αυτό θα χρειασθεί να δείξετε ότι: για $\varepsilon>0$ υπάρχει οσοδήποτε μεγάλο

ώστε $\cos x^2>1-\varepsilon$ και $\cos(x+1)^2<-1+\varepsilon$ συν ολοκλήρωση κατά μέρη όπως υπέδειξε ο Αχιλλέας.

Ταλαίπωρη

Ταλαίπωρη

Re: Ταλαίπωρη

Re: Ταλαίπωρη

Μέλη σε σύνδεση