oρισμένο ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

tolis riza
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Παρ Ιουν 17, 2011 9:38 pm

oρισμένο ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tolis riza » Τετ Νοέμ 21, 2012 10:06 pm

Έστω f συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [0,1] και f(0)=f(1)=0
Να αποδειχθεί ότι :\exists \xi  \in [0,1]:\int_0^1 {{\mathop{\rm f}\nolimits} (t)dt = -12 f''(\xi )}

Edit: Έγινε αλλαγή προσήμου στο f''(\xi ) από -f''(\xi ) που ήταν αρχικά.

Edit: Έγινε νέα αλλαγή. Τώρα γράφτηκε -12f''(\xi ) .
τελευταία επεξεργασία από tolis riza σε Τετ Νοέμ 21, 2012 11:21 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11807
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 21, 2012 10:15 pm

Κάτι δεν πάει καλά ή κουτουλάω από την κούραση.

Η f(x)=x-x^2 ικανοποιεί f(0)=f(1)=0. Είναι \displaystyle{\int _0^1f(x)\, dx = \left [\frac {1}{2}x^2-\frac {1}{3}x^3 \right ]_0^1= \frac {1}{6}}. Όμως f''(x) = -2 (σταθερή) , οπότε δεν ισχύει η ζητούμενη ισότητα.

Φιλικά,

Μιχάλης


tolis riza
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Παρ Ιουν 17, 2011 9:38 pm

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tolis riza » Τετ Νοέμ 21, 2012 10:56 pm

Σωστά , έγινε κάποιο λάθος σε ένα πρόσημο (ευχαριστώ). Έγινε η διόρθωση.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6835
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Νοέμ 21, 2012 11:06 pm

tolis riza έγραψε:Έστω f συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [0,1] και f(0)=f(1)=0
Να αποδειχθεί ότι :\exists \xi  \in [0,1]:\int_0^1 {{\mathop{\rm f}\nolimits} (t)dt =  f''(\xi )}
Καλησπέρα. Δε βλέπω τι άλλαξε στο πρόβλημα αφού το αντιπαράδειγμα του Μιχάλη εξακολουθεί να ισχύει.


Χρήστος Κυριαζής
tolis riza
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Παρ Ιουν 17, 2011 9:38 pm

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tolis riza » Τετ Νοέμ 21, 2012 11:23 pm

Ξαναδιορθώνω , νομίζω τώρα είναι ο.κ. (συγνώμη για τους λάθος υπολογισμούς), νομίζω όμως
αξίζει τον κόπο.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6835
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Νοέμ 21, 2012 11:30 pm

tolis riza έγραψε:Έστω f συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [0,1] και f(0)=f(1)=0
Να αποδειχθεί ότι :\exists \xi  \in [0,1]:\int_0^1 {{\mathop{\rm f}\nolimits} (t)dt = -12 f''(\xi )}

Edit: Έγινε αλλαγή προσήμου στο f''(\xi ) από -f''(\xi ) που ήταν αρχικά.
Παρεμβαίνω ξανά γιατί και πάλι το αντιπαράδειγμα του Μιχάλη εξακολουθεί να ισχύει!
Να βάλουμε \displaystyle{-\frac{1}{12}} για να είμαστε σύμφωνοι, τουλάχιστον με το αντιπαράδειγμα;


Χρήστος Κυριαζής
tolis riza
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Παρ Ιουν 17, 2011 9:38 pm

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tolis riza » Πέμ Νοέμ 22, 2012 9:46 am

Έχετε || δίκιο (της νύχτας τα καμώματα..), διορθώνω και δίνω τη λύση.
Έστω \int_0^1 {{\mathop{\rm f}\nolimits} (t)dt = c}. Θεωρώ τη συνάρτηση:

{\mathop{\rm h}\nolimits} (x) = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - 6cx + 6cx^2
και έχω
\int_0^1 {{\mathop{\rm h}\nolimits} (t)dt = c - 3c + 2c = 0}.

Άρα υπάρχει x_o  \in (0,1)\mathop {}\limits^{} :\mathop {}\limits^{} {\mathop{\rm h}\nolimits} (x_o ) = 0

Οπότε {\mathop{\rm h}\nolimits} (0) = {\mathop{\rm h}\nolimits} (x_o ) = {\mathop{\rm h}\nolimits} (1)

και επομένως υπάρχει \xi  \in (0,1)\mathop {}\limits^{} :\mathop {}\limits^{} h''(\xi ) = 0
και άρα f''(\xi ) =  - 12c


Άβαταρ μέλους
Γενικοί Συντονιστές
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 490
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 13, 2009 12:52 am

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 22, 2012 12:00 pm

tolis riza έγραψε: διορθώνω και δίνω τη λύση.
Με άλλα λόγια μας έδωσες την λύση χωρίς να μας πεις την ερώτηση.

Άσε που έκανες δύο λάθος αλλαγές στην αρχική ερώτηση.

Αυτό από μόνο του δεν είναι μεμπτό. Αυτό ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΜΕΜΠΤΟ είναι ότι δεν δήλωσες οτι έκανες αλλαγή, με αποτέλεσμα να ταλαιπωρείς τον κόσμο.

Για να καταλάβουν και οι υπόλοιποι, οι δύο Edit που είναι σημειωμένες με κόκκινο στο αρχικό μήνυμα, μπήκαν από τους Γενικούς Συντονιστές μετά που έγινε η εκάστοτε αλλαγή. Θα νόμιζε κανείς ότι την πρώτη φορά που μπήκε το Edit θα ήταν μήνυμα στον θεματοθέτη να ενεργεί με μεγαλύτερη μέριμνα όσον αφορά τις αλλαγές. Ατύχησαν.

Παρακαλώ να υιοθετούμε ΠΑΝΤΑ την πρακτική να δηλώνουμε τις κατοπινές μας αλλαγές στα ερωτήματα.


Οι Γενικοί Συντονιστές του mathematica
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης