Εμβαδόν χωρίου

dimplak · #1

Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) = - |x^2 - 4|

και

.

Υ.Γ. Η λύση να γίνει διδακτικά και αναλυτικά με μελέτη των γραφικών παραστάσεων, χωρίς χρήση λογισμικού.

#2

dimplak έγραψε:Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και .

Υ.Γ. Η λύση να γίνει διδακτικά και αναλυτικά με μελέτη των γραφικών παραστάσεων, χωρίς χρήση λογισμικού.

$f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow - \left| {{x^2} - 4} \right| = 3\left| x \right| - 6\mathop \Leftrightarrow \limits^{ - \left| {{x^2} - 4} \right| \leqslant 0}$ $\left\{ \begin{gathered} - \left| {{x^2} - 4} \right| = 3\left| x \right| - 6 \\ 3\left| x \right| - 6 \leqslant 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \left| {{x^2} - 4} \right| = 3\left| x \right| - 6 \\ 0 \leqslant \left| x \right| \leqslant 2 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$

$\left\{ \begin{gathered} - \left| {{x^2} - 4} \right| = 3\left| x \right| - 6 \\ {\left| x \right|^2} \leqslant 4 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \left| {{x^2} - 4} \right| = 3\left| x \right| - 6 \\ {x^2} - 4 \leqslant 0 \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \left( {4 - {x^2}} \right) = 3\left| x \right| - 6 \\ {x^2} - 4 \leqslant 0 \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 3\left| x \right| + 2 = 0 \\ - 2 \leqslant x \leqslant 2 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left| x \right|^2} - 3\left| x \right| + 2 = 0 \\ - 2 \leqslant x \leqslant 2 \\ \end{gathered} \right.$

$\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left| x \right| = y \geqslant 0} \left\{ \begin{gathered} {y^2} - 3y + 2 = 0 \\ \left| x \right| = y \\ - 2 \leqslant x \leqslant 2 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 1\,\, \vee y = 2 \\ \left| x \right| = y \\ - 2 \leqslant x \leqslant 2 \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \left| x \right| = 1 \\ - 2 \leqslant x \leqslant 2 \\ \end{gathered} \right. \\ \vee \\ \left\{ \begin{gathered} \left| x \right| = 2 \\ - 2 \leqslant x \leqslant 2 \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = 1\,\, \vee x = - 1 \\ - 2 \leqslant x \leqslant 2 \\ \end{gathered} \right. \\ \vee \\ \left\{ \begin{gathered} x = 2\,\, \vee \,\,x = - 2 \\ - 2 \leqslant x \leqslant 2 \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = - 2, - 1,1,2$

Αν είναι το ζητούμενο εμβαδόν τότε: $E = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \mathop = \limits^{{x^2} - 4 \leqslant 0,\forall x \in \left[ { - 2,2} \right]} \ldots \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {{{\left| x \right|}^2} - 3\left| x \right| + 2} \right|dx}$

$\mathop = \limits^{h\left( x \right) = {{\left| x \right|}^2} - 3\left| x \right| + 2\,\,\alpha \rho \tau \iota \alpha \,\,\sigma \tau o\,\,\left[ { - 2,2} \right]} 2\int\limits_0^2 {\left| {{{\left| x \right|}^2} - 3\left| x \right| + 2} \right|dx} \mathop = \limits^{x \in \left[ {0,2} \right] \Rightarrow \left| x \right| = x}$ $2\int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} \mathop = \limits^{{x^2} - 3x + 2 \geqslant 0,\forall x \in \left[ {0,1} \right],{x^2} - 3x + 2 \leqslant 0,\forall x \in \left[ {1,2} \right]}$

$2\left( {\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 3x - 2} \right)dx} } \right) =$ $2\left( {\left[ {\dfrac{{{x^3}}}{3} - 3\dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right]_0^1 + \left[ { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + 3\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right]_1^2} \right) =$

$2\left[ {\dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{2} + 2 - \dfrac{8}{3} + \dfrac{{12}}{2} - 4 - \left( { - \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{2} - 2} \right)} \right] \Rightarrow \ldots \boxed{E = 2\tau .\mu }$ και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.

Στάθης

Christos.N · #3

Να λύσουμε την εξίσωση $\displaystyle{f(x) = g(x)}$ χρησιμοποιώντας πίνακα προσήμων για κάθε παράσταση που εμφανίζεται σε απόλυτο.

Θα βρούμε ότι τέμνονται στα σημεία $\displaystyle{\left( { - 2,0} \right),\left( { - 1, - 3} \right),\left( {1, - 3} \right),\left( {2,0} \right)}$ .

Για την σχετική θέση των δύο συναρτήσεων θα εκμεταλλευτούμε την συνέχεια της συνάρτησης $\displaystyle{h\left( x \right) = f(x) - g(x)}$ καθώς και την μοναδικότητα των ριζών που υπολογίσαμε πριν, αρκεί να συγκρίνουμε τις τιμές $\displaystyle{f\left( 0 \right),g\left( 0 \right)}$ και $\displaystyle{f\left( 1.5 \right),g\left( 1.5 \right)}$ .

Να παρατηρήσουμε ότι οι δύο συναρτήσεις είναι άρτιες άρα συμμετρικές ως προς τον άξονα $\displaystyle{y'y}$ , άρα και η συνάρτηση $\displaystyle{h}$ και να αφιερώσουμε λίγο χρόνο να δείξουμε ότι : $\displaystyle{\int\limits_{ - a}^a {|h|\left( t \right)} \,dt = 2\int\limits_0^a {|h|\left( t \right)} \,dt}$

Το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι $\displaystyle{\int\limits_{ - 2}^2 {|h\left( t \right)} \|,dt = 2\int\limits_0^2 {\left| {h\left( t \right)} \right|} \,dt = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \,dx + 2\int\limits_1^2 {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \,dx}$ .

Μένει να το υπολογίσουμε πια.

Υ.Γ. Κάπως διαφοροποιημένα από του Στάθη Κούτρα.

Εμβαδόν χωρίου

Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Μέλη σε σύνδεση