ορια

Συντονιστής: R BORIS

teo
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 12:21 am

ορια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από teo » Κυρ Φεβ 21, 2010 8:46 pm

Eστω συναρτηση φ:R->R για την οποια τα ορια :της φ και της κ-οστης παραγωγου της για καποιο φυσικο κ ,ειναι στο απειρο ισα με μηδεν. Να δειξετε οτι και τα ορια της πρωτης ,δευτερης ,τριτης ,.....,κ-1 παραγωγου της στο απειρο ειναι επισης μηδεν.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1400
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: ορια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Πέμ Φεβ 25, 2010 12:24 am

Η εικασία αυτή είναι λανθασμένη.
Θεωρούμε το ακόλουθο αντιπαράδειγμα:
f(x) =xln(x^2+1).
Η συνάρτηση αυτή είναι ορισμένη σε όλο το R, από την δεύτερη παράγωγο και μετά όλες οι παράγωγες συναρτήσεις έχουν όριο το 0, όταν το x τείνει στο άπειρο (είτε συν είτε πλην άπειρο) και όμως η πρώτη παράγωγος έχει όριο το άπειρο και όχι το μηδέν.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


manos1992
Δημοσιεύσεις: 293
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 07, 2009 6:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν.Σμύρνη

Re: ορια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manos1992 » Πέμ Φεβ 25, 2010 3:52 pm

νομίζω το αντιπαράδειγμα είναι λανθασμένο διότι η f έχει όριο +\infty ενώ η εκφώνηση υποθέτει πως έχει όριο 0


Μάνος Μανουράς
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: ορια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Μαρ 01, 2010 5:20 pm

Εστω p \in \mathbb{R}. Εχουμε, απο θ. Taylor, οτι:

\displaystyle f(x+p) - f(x) = \sum_{n=1}^{k-1} \frac{1}{n!} f^{[n]}(x) \ p^n + \frac{1}{k!} f^{[k]} ( \xi ) \ p^k, με \xi \in (x, x+p).

Το αριστερο μελος και ο τελευταιος ορος τεινουν στο 0 καθως x \to +\infty, οποτε το ιδιο ισχυει και για το αθροισμα.

Ετσι, αφου ο p ειναι τυχαιος πραγματικος, επεται οτι καθε παραγωγος τεινει στο 0.

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
manos1992
Δημοσιεύσεις: 293
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 07, 2009 6:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν.Σμύρνη

Re: ορια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manos1992 » Δευ Μαρ 01, 2010 5:40 pm

dement έγραψε:Το αριστερο μελος και ο τελευταιος ορος τεινουν στο 0 καθως x \to +\infty, οποτε το ιδιο ισχυει και για το αθροισμα.

Ετσι, αφου ο p ειναι τυχαιος πραγματικος, επεται οτι καθε παραγωγος τεινει στο 0.
Κύριε Δημήτρη πως από το ότι το όριο του αθροίσματος είναι 0 προκύπτει πως ολοι οι όροι του αθροίσματος έχουν όριο 0;;


Μάνος Μανουράς
manos1992
Δημοσιεύσεις: 293
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 07, 2009 6:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν.Σμύρνη

Re: ορια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manos1992 » Τρί Μαρ 02, 2010 12:03 am

Ας κάνω μια εικασία της οποίας η ισχύς αν αποδειχθεί η απόδειξη τελειώνει γρήγορα...

Αν f παραγωγίσιμη στο R και έχει ασύμπωτη στο +\infty την y=ax+b
τότε \lim_{x\rightarrow +\infty}f'(x)=a

(δεν κατάφερα μέχρι στιγμής να το αποδείξω ή να το απορρίψω)


Μάνος Μανουράς
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2172
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: ορια

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Μαρ 02, 2010 8:42 am

Δεν σωστό πχ \displaystyle{f(x)=\frac{sin(x^2)}{x}}
όμως αν η f ήταν κοίλη ή κυρτή τότε θα ίσχυε


manos1992
Δημοσιεύσεις: 293
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 07, 2009 6:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν.Σμύρνη

Re: ορια

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manos1992 » Τρί Μαρ 02, 2010 8:56 am

:oops: έχετε δίκιο κύριε Ροδολφε..άρα αποτυχής η προσπάθεια..


Μάνος Μανουράς
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: ορια

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Μαρ 02, 2010 9:42 am

manos1992 έγραψε:
dement έγραψε:Το αριστερο μελος και ο τελευταιος ορος τεινουν στο 0 καθως x \to +\infty, οποτε το ιδιο ισχυει και για το αθροισμα.

Ετσι, αφου ο p ειναι τυχαιος πραγματικος, επεται οτι καθε παραγωγος τεινει στο 0.
Κύριε Δημήτρη πως από το ότι το όριο του αθροίσματος είναι 0 προκύπτει πως ολοι οι όροι του αθροίσματος έχουν όριο 0;;
Το αθροισμα εχει οριο 0 για οποιοδηποτε p. Ετσι, μπορουμε παντα να παρουμε καταλληλους γραμμικους συνδυασμους απομονωνοντας καθε ορο του αθροισματος ξεχωριστα.

Π.χ., εστω k = 3. Τοτε, για καθε p, το αθροισμα p f^{\prime} (x) + \frac{p^2}{2} f^{\prime \prime} (x) τεινει στο 0. Παιρνοντας p=1 και p=-1, προσθετοντας και αφαιρωντας κατα μελη, εχουμε το αποτελεσμα μας.

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
manos1992
Δημοσιεύσεις: 293
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 07, 2009 6:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν.Σμύρνη

Re: ορια

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manos1992 » Τρί Μαρ 02, 2010 9:49 am

Έχετε δίκιο, δεν πρόσεξα ότι μπορεί να γίνει αυθαίρετη επιλογή των p αφού είναι τυχόντας πραγματικός...θαυμάσια αποδειξη!(αν και οχι ιδιαίτερα κοντά στο φάκελο που βρισκεται)


Μάνος Μανουράς
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης