Υπαρξιακή

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Υπαρξιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Τετ Απρ 19, 2017 11:02 am

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R \to R και F μια αρχική της f ώστε F(1-2x)+F(x^2+2)=x^4+5x^2+2x, x \in R.

1) Να βρεθούν οι τιμές f(1),f(3)

2) H C_f τέμνει τον άξονα xx' σε τουλάχιστον ένα σημείο x_0 \in (1,3)

3) Yπάρχουν x_1,x_2 \in (1,3), x_1<x_2 ώστε \displaystyle{\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{3}{f'(x_2)}=2}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3568
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Απρ 19, 2017 11:42 am

erxmer έγραψε:Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R \to R και F μια αρχική της f ώστε F(1-2x)+F(x^2+2)=x^4+5x^2+2x, x \in R.

1) Να βρεθούν οι τιμές f(1),f(3)

2) H C_f τέμνει τον άξονα xx' σε τουλάχιστον ένα σημείο x_0 \in (1,3)

3) Yπάρχουν x_1,x_2 \in (1,3), x_1<x_2 ώστε \displaystyle{\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{3}{f'(x_2)}=2}
Εφόσον η {\rm F} είναι αρχική της συνεχούς συνάρτησης f αυτό σημαίνει πως είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με {\rm F}'(x)=f(x) για κάθε x \in \mathbb{R}. Παραγωγίζοντας την αρχική σχέση έχουμε:
\displaystyle{\begin{matrix} 
-2{\rm F}' \left ( 1-2x \right ) + 2x{\rm F}' \left ( x^2+2 \right ) = 4x^3 +10 x +2 & \Rightarrow \\\\  
 -2 f \left ( 1-2x \right ) + 2x f \left ( x^2+2 \right )= 4x^3 +10 x +2 & (1) 
\end{matrix}} Θέτουμε x=0 στη σχέση (1) συνεπώς έχουμε -2f(1)=2 ή f(1)=-1. Επίσης στη σχέση (1) θέτουμε ξανά x=-1 και τελικά παίρνουμε f(3) = 3.

(β) Η f είναι συνεχής στο διάστημα [1, 3] και ισχύει ότι f(1) f(3)<0. Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x_0 \in (1, 3) τέτοιο ώστε f(x_0)=0. Δηλαδή η \mathcal{C}_f τέμνει τον άξονα x'x σε τουλάχιστον ένα σημείο.

(γ) Η f είναι συνεχής στα διαστήματα [1, x_0] και [x_0, 3] και παραγωγίσιμη στα (1, x_0) και (x_0, 3). Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής έχουμε πως υπάρχει ένα \xi_1 \in (1, x_0) τέτοιο ώστε
\displaystyle{f'\left ( \xi_1 \right ) = \frac{f(x_0) - f(1)}{x_0-1} = \frac{1}{x_0-1} } και όμοια υπάρχει \xi_2 \in (x_0, 3) τέτοιο ώστε
\displaystyle{f'\left ( \xi_2 \right ) = \frac{f(3) - f(x_0)}{3-x_0} = \frac{3}{3-x_0}} Τότε
\displaystyle{\begin{aligned} 
\frac{1}{f'\left ( \xi_1 \right )} + \frac{3}{f'\left ( \xi_2 \right )} &= x_0 -1 + 3-x_0 \\  
 &= 2 
\end{aligned}} δηλ. το ζητούμενο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης