"Αξιοπρεπή" φράγματα

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{sinx}{x} & , x\neq 0 \\ & \\ 1& , x=0 \end{Bmatrix}$ . Δείξτε ότι : $\displaystyle \int_{0}^{\pi}f(x)dx>\frac{\pi}{2}$ .

Προσπαθήστε να βρείτε και ένα "αξιοπρεπές" άνω φράγμα για το παραπάνω ολοκλήρωμα .

#2

KARKAR έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{sinx}{x} & , x\neq 0 \\ & \\ 1& , x=0 \end{Bmatrix}$ . Δείξτε ότι : $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx>\frac{\pi}{2}$ .

Προσπαθήστε να βρείτε και ένα "αξιοπρεπές" άνω φράγμα για το παραπάνω ολοκλήρωμα .

Μήπως δεν βλέπω κάτι; Mε λογισμικό βλέπουμε ότι το ολοκλήρωμα ισούται περίπου 0,946

που είναι σαφώς μικρότερο από το δοθέν κάτω φράγμα.

Μήπως ζητάμε άνω φράγμα; Ένα αξιοπρεπές είναι το

που βγαίνει εύκολα από την ιδιότητα $\displaystyle{\frac{\sin x}{x} \le 1}$ στο πρώτο τεταρτημόριο.

Εάν θέλουμε κάποιο αξιοπρεπές κάτω φράγμα μπορούμε να πούμε ότι είναι γνωστό, και όχι δύσκολο να αποδειχθεί, πως ισχύει $\displaystyle{ \frac{\sin x}{x} \ge \frac{2}{\pi}}$ στο πρώτο τεταρτημόριο. Οπότε εύκολα βλέπουμε ότι το ολοκλήρωμα φράσσεται κάτω από το $\displaystyle{ \frac{2}{\pi}\approx 0,636}$ .

KARKAR · #3

Λογικό το σχόλιο του Μιχάλη , αφού το άνω όριο ολοκλήρωσης είναι το $\pi$ και όχι το

Βάζω κι ένα σχήμα ...

: εμβαδόν.png (9.84 KiB) Προβλήθηκε 1254 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Εχουμε ότι $f''(x)=\dfrac{q(x)}{x^{3}}$

όπου $q(x)=-x^{2}\sin x-2x\cos x+2\sin x\wedge q'(x)=-x^{2}\cos x$

Επειδή $q(0)=0,q(\frac{\pi }{2})=-(\frac{\pi }{2})^{2}+2< 0$

συμπεραίνουμε ότι η

είναι κοίλη στο $[0,\frac{\pi }{2}]$

Αρα
$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx> \frac{\pi }{2}\frac{1}{2}(f(0)+f(\frac{\pi }{2}))=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}$ (1)

Χρησιμοποιόντας την $x\in (0,\frac{\pi }{2})\Rightarrow \sin x\geq \frac{2}{\pi }x$

έχουμε $\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\dfrac{\sin x}{x}dx=\int_{0}^{ \frac{\pi }{2}}\dfrac{\sin x}{\pi- x}dx\geq \frac{2}{\pi }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\dfrac{x}{\pi -x}dx=2ln2-1$ (2)

Προσθέτοντας τις (1)(2) παίρνουμε ότι $\int_{0}^{\pi }f(x)dx> \frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}+2ln2-1> \frac{\pi }{2}$

Για να δούμε τώρα το θέμα από μια άλλη σκοπιά (εκτός φακέλου)

Αν θέσουμε $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$

τότε η

εχει τοπικά μέγιστα στα $(2k+1)\pi ,k=0,1,2....$ και τοπικά ελάχιστα

στα $2k\pi ,k=0,1,2....$ .

Μάλιστα είναι $F(\pi )> F(3\pi )> .....> F((2k+1)\pi )> F((2k+3)\pi )> ..$

Επίσης είναι γνωστό ότι $\lim_{x\rightarrow \infty }F(x)=\frac{\pi }{2}$
(Μια στοιχειώδης απόδειξη γιαυτό υπάρχει στον Spivak πρόβλημα 55 στην παράγραφο 18).

Ετσι έχουμε ότι η μέγιστη τιμή της

είναι στο $\pi$ και προφανώς

$F(\pi )=\int_{0}^{\pi }f(t)dt> \frac{\pi }{2}$

Για ''αξιοπρεπές'' άνω φράγμα εξαρτάται από πόσο ''αξιοπρεπές'' το θέλουμε.
Χρησιμοποιώντας Taylor μπορούμε να βρούμε άνω και κάτω φράγματα όσο κοντά θέλουμε στην πραγματική τιμή.

S.E.Louridas · #5

... Πάντως και αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος η $k\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{2}\,/\left[ {0,\,\pi } \right],$ είναι γνησίως φθίνουσα , αν αυτό οδηγεί κάπου ...

Λάμπρος Μπαλός · #6

Ένα "τίμιο" σχολικό φράγμα, προκύπτει ως εξής :

$\int_{0}^{\pi} \frac{sinx}{x}dx=\int_{0}^{\pi} \frac{2sin(x/2)cos(x/2)}{x}dx < \int_{0}^{\pi} cos(x/2)dx = [2sin(x/2)]_{0}^{\pi} = 2$ .

Σημείωση
Βελτίωσα το φράγμα, αφού κάτι πλεόναζε μες στην απροσεξία μου.

"Αξιοπρεπή" φράγματα

"Αξιοπρεπή" φράγματα

Re: "Αξιοπρεπή" φράγματα

Re: "Αξιοπρεπή" φράγματα

Re: "Αξιοπρεπή" φράγματα

Re: "Αξιοπρεπή" φράγματα

Re: "Αξιοπρεπή" φράγματα

Μέλη σε σύνδεση