Ανισότητα με ολοκλήρωμα

M.S.Vovos · #1

Έστω η παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύουν f(1)=-1

,

.

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}$ με $\alpha <\gamma <\beta$ τέτοια ώστε:
$\displaystyle{\int_{1}^{3}f(x)\textup{d}x<\frac{2}{3}\Big (f'(\alpha )\left ( 2-\alpha \right )+f'(\beta )\left ( 2-\beta \right )+f(\gamma )\Big )}$ Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Θα μπορούσαμε να χαλαρώσουμε τη συνθήκη της παραγωγισιμότητας;

#2

M.S.Vovos έγραψε:
Υ.Γ. Θα μπορούσαμε να χαλαρώσουμε τη συνθήκη της παραγωγισιμότητας;

...φυσικά και μπορούμε αφού είναι κοίλη....

...Μετά την πρατήρηση του Σταύρου σε παρακάτω post δεν γίνεται προφανώς να χαλαρώσουμε την παραγωγισιμότητα και
συμφωνώ ότι το θέμα είναι αρκετά απαιτητικό για μαθητές...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

M.S.Vovos έγραψε:Έστω η παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύουν , , .

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}$ με $\alpha <\gamma <\beta$ τέτοια ώστε:
$\displaystyle{\int_{1}^{3}f(x)\textup{d}x<\frac{2}{3}\Big (f'(\alpha )\left ( 2-\alpha \right )+f'(\beta )\left ( 2-\beta \right )+f(\gamma )\Big )}$ Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Θα μπορούσαμε να χαλαρώσουμε τη συνθήκη της παραγωγισιμότητας;

...μια προσπάθεια...

Από την υπόθεση έχουμε ότι f(1)=-1

,

δηλαδή

, και

,

επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχουν $\alpha \in (1,\,\,2),\,\,\beta \in (2,\,\,3)$ ώστε

$f(\alpha )=f(\beta )=0$ και οι εφαπτόμενες στα σημεία $(\alpha ,\,f(a)),\,\,\,(\beta ,\,f(\beta ))$ είναι αντίστοιχα

$y-f(a)={f}'(\alpha )(x-\alpha ),\,\,\,y-f(\beta )={f}'(\beta )(x-\beta )$ ή

$y={f}'(\alpha )(x-\alpha ),\,\,\,y={f}'(\beta )(x-\beta )$

και επειδή η

είναι κοίλη θα είναι πάνω από την ${{C}_{f}}$ επομένως θα ισχύουν

$f(x)\le {f}'(\alpha )(x-\alpha ),\,\,\,f(x)\le {f}'(\beta )(x-\beta ),\,\,\,x\in R$ με τις ισότητες να ισχύουν μόνο για τα σημεία επαφής.

Τώρα ολοκληρώνοντας τις ανισότητες θα έχουμε

$\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<\int\limits_{1}^{3}{{f}'(\alpha )(x-\alpha )dx},\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<\int\limits_{1}^{3}{{f}'(\alpha )(x-\alpha )dx}$ ή

$\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<{f}'(a)\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}-ax \right]_{1}^{3}\,,\,\,\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<{f}'(\beta )\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}-\beta x \right]_{1}^{3}\,$ ή

$\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<{f}'(a)(4-2\alpha )\,\,,\,\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<{f}'(\beta )(4-2\beta )$ ή

$\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<2{f}'(a)(2-\alpha )\,,\,\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<2{f}'(\beta )(2-\beta )$

Επίσης σύμφωνα με το θεώρημα μεγίστης και ελάχιστης τιμής στο διάστημα $[1,\,\,3]$ η

θα παίρνει μέγιστη τιμή σε σημείο

$\gamma \in (\alpha ,\,\,\beta )$ αφού $f(\alpha )=f(\beta )=0$ και f(2)=2>0

οπότε θα ισχύει $f(x)\le f(\gamma ),\,\,x\in [1,\,\,3]$

και ολοκληρώνοντας θα ισχύει $\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}\le \int\limits_{1}^{3}{f(\gamma )dx}\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}\le 2f(\gamma )$

και με πρόσθεση κατά μέλη των ανισοτήτων προκύπτει ότι

$3\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<2{f}'(a)(2-\alpha )+2{f}'(\beta )(2-\beta )+2f(\gamma )$ ή

$\int\limits_{1}^{3}{f}(x)dx<\frac{2}{3}({f}'(\alpha )\left( 2-\alpha \right)+{f}'(\beta )\left( 2-\beta \right)+f(\gamma ))$

που είναι αυτό που θέλαμε.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

M.S.Vovos έγραψε:Έστω η παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύουν , , .

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}$ με $\alpha <\gamma <\beta$ τέτοια ώστε:
$\displaystyle{\int_{1}^{3}f(x)\textup{d}x<\frac{2}{3}\Big (f'(\alpha )\left ( 2-\alpha \right )+f'(\beta )\left ( 2-\beta \right )+f(\gamma )\Big )}$ Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Θα μπορούσαμε να χαλαρώσουμε τη συνθήκη της παραγωγισιμότητας;

Πως θα μπορούσαμε να χαλαρώσουμε την παραγωγισιμότητα αφού στο δεξί μέλος εμφανίζεται παράγωγος;
Τι θα βάζαμε στην θέση των παραγώγων;

Μερικές παρατηρήσεις για την άσκηση.

1)Ο φάκελος δεν είναι ο κατάλληλος. Τουλάχιστον κατά την γνώμη μου η άσκηση δεν είναι για μαθητές με αυτή την διατύπωση.Ισως προσθέτοντας ερωτήματα θα μπορούσε να γίνει.

2)Στην λύση που έχω δεν χρειάζεται το $\gamma$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Η άσκηση είναι για ........

Αν στην λύση του Βασίλη ολοκληρώσουμε την πρώτη σχέση στο [1,2]

και την δεύτερη στο [2,3]

τότε με λίγες πράξεις βγαίνει χωρίς να χρησιμοποιήθει το $\gamma$

Δεν γράφω τις λεπτομέρειες γιατί

το $\frac{2}{3}$ μπορεί να αντικατασταθεί από οποιονδήποτε θετικό.

Τα $\alpha ,\gamma$ μπορούμε να τα πάρουμε όποια θέλουμε.

Πράγματι.
Από ΘΜΤ υπάρχει

με $k\in (2,3)\wedge f'(k)=\dfrac{f(3)-f(2)}{3-2}=-5$

Αφου η

είναι κοίλη θα έχουμε $x\geq 3\Rightarrow f'(x)\leq -5$

Ετσι $x\geq 3\Rightarrow f'(x)(2-x)\geq 5(x-2)$ (1)

Αφού βάλουμε στην θέση του $\frac{2}{3}$ όποιο θετικό θέλουμε διαλέξουμε τα $\alpha ,\gamma$

όποια μας αρέσουν λόγω της (1) μπορούμε να πάρουμε $\beta$ ώστε να ισχύει.

Μάριε από που είναι η άσκηση;

M.S.Vovos · #6

Ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή και τους δύο.

Η άσκηση Σταυρό είναι δικιά μου κατασκευή. Είναι από το φυλλάδιο που σου είχα στείλει.

Φιλικά.

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση