Ελάχιστο παραβολικού χωρίου

KARKAR · #1

: Ελάχιστο παραβολικού χωρίου.png (15.21 KiB) Προβλήθηκε 1150 φορές

Σε σημείο

της γραφικής παράστασης της $f(x)=\dfrac{x^2}{4}$ , που βρίσκεται στο πρώτο

τεταρτημόριο , φέρουμε την κάθετη προς την εφαπτομένη , η οποία ξανατέμνει την $C_{f}$

στο σημείο

. Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του σχηματιζόμενου γαλάζιου χωρίου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 11, 2017 9:19 pm
Ελάχιστο παραβολικού χωρίου.pngΣε σημείο της γραφικής παράστασης της $f(x)=\dfrac{x^2}{4}$ , που βρίσκεται στο πρώτο

τεταρτημόριο , φέρουμε την κάθετη προς την εφαπτομένη , η οποία ξανατέμνει την $C_{f}$

στο σημείο . Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του σχηματιζόμενου γαλάζιου χωρίου .

...μια αντιμετώπιση....

: ΕΜΒΑΔΟ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟΥ ΧΩΡΙΟΥ.jpg (22 KiB) Προβλήθηκε 1110 φορές

Αν το σημείο $A({{x}_{1}},\,\frac{1}{4}x_{1}^{2}),\,\,{{x}_{1}}>0$ είναι το σημείο της παραβολής, $f(x)=\dfrac{x^2}{4}$ επειδή

${f}'(x)=\frac{1}{2}x$ η εφαπτομένη στο

θα έχει κλίση ${f}'({{x}_{1}})=\frac{1}{2}{{x}_{1}}$ επομένως η κάθετη

θα έχει συντελεστή

διεύθυνσης $\lambda =-\frac{2}{{{x}_{1}}}$ και εξίσωση

$y-f({{x}_{1}})=-\frac{2}{{{x}_{1}}}(x-{{x}_{1}})\Leftrightarrow y=-\frac{2}{{{x}_{1}}}x+2+\frac{1}{4}x_{1}^{2}\Leftrightarrow y=-\frac{2}{{{x}_{1}}}x+\frac{1}{4}x_{1}^{2}+2$

Τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της

και της

προκύπτουν από τη λύση του συστήματος

$(\Sigma )\left\{ \begin{matrix} & y=f(x) \\ & y=-\frac{2}{{{x}_{1}}}{{x}_{1}}x+\frac{1}{4}x_{1}^{2}+2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y=\frac{1}{4}{{x}^{2}} \\ & y=-\frac{2}{{{x}_{1}}}x+\frac{1}{4}x_{1}^{2}+2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y=\frac{1}{4}{{x}^{2}} \\ & \frac{1}{4}{{x}^{2}}=-\frac{2}{{{x}_{1}}}x+\frac{1}{4}x_{1}^{2}+2 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y=\frac{1}{4}{{x}^{2}} \\ & {{x}_{1}}{{x}^{2}}=-8x+x_{1}^{3}+8{{x}_{1}} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y=\frac{1}{4}{{x}^{2}} \\ & {{x}_{1}}{{x}^{2}}+8x-x_{1}^{3}-8{{x}_{1}}=0\, \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y=\frac{1}{4}{{x}^{2}} \\ & {{\rho }_{1}}={{x}_{1}},\,\,{{\rho }_{2}}=-{{x}_{1}}-\frac{8}{{{x}_{1}}}\,\,(1) \\ \end{matrix} \right.$

επομένως έχουν κοινά σημεία τα $A({{\rho }_{1}},\,\frac{1}{4}\rho _{1}^{2}),\,\,$ και $B({{\rho }_{2}},\,\frac{1}{4}\rho _{2}^{2})$

Αν τώρα οι προβολές των A,B

στον

είναι ${A}'({{\rho }_{1}},\,0),\,\,$ και ${B}'({{\rho }_{2}},0)$ το εμβαδό του χωρίου θα είναι

από το εμβαδό του τραπεζίου {A}'AB{B}'

να αφαιρέσουμε το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από την παραβολή τον {x}'x

και τις ευθείες $x={{\rho }_{1}},\,\,x={{\rho }_{2}}$ επομένως θα είναι

$E=\frac{A{A}'+B{B}'}{2}{A}'{B}'-\int\limits_{{{\rho }_{2}}}^{{{\rho }_{1}}}{\frac{1}{4}{{x}^{2}}dx=}\frac{\frac{1}{4}\rho _{1}^{2}+\frac{1}{4}\rho _{2}^{2}}{2}({{\rho }_{1}}-{{\rho }_{2}})-\frac{1}{4}\left[ \frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{{{\rho }_{2}}}^{{{\rho }_{1}}}=$

$=\frac{1}{8}\left( \rho _{1}^{2}+\rho _{1}^{2} \right)({{\rho }_{1}}-{{\rho }_{2}})-\frac{1}{12}(\rho _{1}^{3}-\rho _{2}^{3})=$

$=\frac{1}{4}({{\rho }_{1}}-{{\rho }_{2}})\left( \frac{1}{2}\left( \rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2} \right)-\frac{1}{3}\left( \rho _{1}^{2}+{{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}+\rho _{1}^{2} \right) \right)=$

$=\frac{1}{24}({{\rho }_{1}}-{{\rho }_{2}}){{({{\rho }_{1}}-{{\rho }_{2}})}^{2}}=\frac{1}{24}{{({{\rho }_{1}}-{{\rho }_{2}})}^{3}}$ και επειδή

${{\rho }_{1}}-{{\rho }_{2}}=2{{x}_{1}}+\frac{8}{{{x}_{1}}},\,\,{{x}_{1}}>0$ τελικά το εμβαδό δίνεται από την συνάρτηση

$E(x)=\frac{1}{24}{{\left( 2x+\frac{8}{x} \right)}^{3}},\,\,x>0$ παραγωγίσιμη με

${E}'(x)=\frac{1}{8}{{\left( 2x+\frac{8}{x} \right)}^{2}}\left( 2-\frac{8}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{1}{4}{{\left( 2x+\frac{8}{x} \right)}^{2}}\left( \frac{{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}} \right),\,\,x>0$

και από εδώ επειδή ${E}'(2)=0,\,\,{E}'(x)>0\Leftrightarrow x>2,{E}'(x)<0\Leftrightarrow x<2$ στο x=2

η συνάρτηση του εμβαδού παίρνει την ελάχιστη τιμή της, άρα το ελάχιστο εμβαδόν του σχηματιζόμενου γαλάζιου χωρίου είναι

$E(2)=\frac{1}{24}{{\left( 4+\frac{8}{2} \right)}^{3}}=\frac{64}{3}$ .

ΥΣΤ. ... αν δεν έχω κάνει λάθος στις πράξεις θα με

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

Καλημέρα Θανάση και Βασίλη
Ένα μεγάλο

και στους δύο.

Το ενδιαφέρον είναι ότι στην ίδια θέση ελαχιστοποιείται και το εμβαδόν
του τριγώνου $\displaystyle ABC$ όπου $\displaystyle C$ είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων στα $\displaystyle A,B$

KARKAR · #4

: Ελάχιστο παραβολικού χωρίου.png (19.99 KiB) Προβλήθηκε 1070 φορές

Δυο λόγια ακόμη : Η εφαπτομένη της παραβολής που είναι παράλληλη προς την

εύκολα

βρίσκουμε ότι είναι η y=-x-1

και εφάπτεται της $C_{f}$ στο σημείο P(-2,1)

. Το εμβαδόν

του τριγώνου APB

( βρίσκεται με διάφορους τρόπους ) είναι ίσο με

. Αλλά το παραβολικό χωρίο

σύμφωνα με τον Αρχιμήδη έχει εμβαδόν ίσο με τα $\dfrac{4}{3}$ του (ABP)

, δηλαδή $\dfrac{64}{3}$ . Βασίλη ευχαριστώ

για την ( κοπιαστική ) λύση και Γιώργο για τα καλά λόγια και το πρόσθετο ερώτημα .

#5

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 12, 2017 9:38 am
Καλημέρα Θανάση και Βασίλη
Ένα μεγάλο και στους δύο.

Το ενδιαφέρον είναι ότι στην ίδια θέση ελαχιστοποιείται και το εμβαδόν
του τριγώνου $\displaystyle ABC$ όπου $\displaystyle C$ είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων στα $\displaystyle A,B$

Υπάρχει σχέση (ευθείας αναλογίας) ανάμεσα στα δύο εμβαδά (τριγώνου και παραβολικού χωρίου); [Οι πράξεις είναι πολλές και διστάζω ... ιδίως αν είναι γνωστό αποτέλεσμα!]

#6

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 12, 2017 9:38 am

..... στην ίδια θέση ελαχιστοποιείται και το εμβαδόν
του τριγώνου $\displaystyle ABC$ όπου $\displaystyle C$ είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων στα $\displaystyle A,B$

Η λύση απαιτεί πολλές πράξεις . Δίνω μια περίληψη :

Έστω $\displaystyle A(x,y),x>0$ ένα σημείο της παραβολής , $\displaystyle AC$ η εφαπτομένη στο $\displaystyle A$ και $\displaystyle AB\bot AC$
Τότε προκύπτει $\displaystyle A\left( x\,,\frac{{{x}^{2}}}{4} \right),B\left( \frac{-{{x}^{2}}-8}{x},{{\left( \frac{{{x}^{2}}+8}{2x} \right)}^{2}} \right),C\left( -\frac{4}{x},-\frac{{{x}^{2}}}{4} \right)$
και κατόπιν
$\displaystyle {{\left[ (AB)(AC) \right]}^{2}}=\left[ {{\left( \frac{2{{x}^{2}}+8}{x} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4{{x}^{2}}+16}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}} \right]\left[ {{\left( \frac{{{x}^{2}}+4}{x} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{x}^{2}}+4}{2} \right)}^{2}} \right]$
Το εμβαδόν είναι $\displaystyle \left( ABC \right)=\frac{1}{2}(AB)(AC)$
Μετά από πράξεις και θέτοντας για ευκολία $\displaystyle {{x}^{2}}+4=k$ καταλήγουμε στο να αναζητούμε
το ελάχιστο της $\displaystyle f(x)={{\left( x+\frac{4}{{{x}^{2}}} \right)}^{6}}$ , $\displaystyle x>0$ ,το οποίο επιτυγχάνεται για $\displaystyle x=2$
και έτσι $\displaystyle A\left( 2,1 \right),B\left( -6,9 \right),C\left( -2,-3 \right)$ ,
ενώ το ελάχιστο εμβαδόν είναι $\displaystyle (ABC)=32$

KARKAR · #7

: Παραβολικό χωρίο γ.png (32.71 KiB) Προβλήθηκε 993 φορές

Είναι : $E_{\pi a\rho}=\dfrac{4}{3}(KAB) , (1)$ και $(SAB)=\dfrac{3}{2}E_{\pi a\rho} , (2)$ , δηλαδή :

(SAB)=2(KAB)

και επιπλέον τα S,K,K'

είναι συνευθειακά .

Η εύρεση του

είναι απλή , ( το

είναι το μέσο του BA'

- σχετική εφαρμογή

υπάρχει στο σχολικό της Γ' Λυκείου ) . Δεν γνωρίζω αν υπάρχει απόδειξη του (2)

,

εικάζω πάντως ότι δεν είναι κάτι ιδιαίτερα δύσκολο

Σημείωση : Άξονας συμμετρίας της παραβολής θεωρήθηκε ο y'y

#8

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 12, 2017 2:13 pm

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 12, 2017 9:38 am
Καλημέρα Θανάση και Βασίλη
Ένα μεγάλο και στους δύο.

Το ενδιαφέρον είναι ότι στην ίδια θέση ελαχιστοποιείται και το εμβαδόν
του τριγώνου $\displaystyle ABC$ όπου $\displaystyle C$ είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων στα $\displaystyle A,B$
Υπάρχει σχέση (ευθείας αναλογίας) ανάμεσα στα δύο εμβαδά (τριγώνου και παραβολικού χωρίου); [Οι πράξεις είναι πολλές και διστάζω ... ιδίως αν είναι γνωστό αποτέλεσμα!]

Πράγματι ο λόγος των εμβαδών (ορθογωνίου τριγώνου προς παραβολικού χωρίου), για την γενικότερη παραβολή y=rx^2

, ισούται προς

(βλέπετε διόρθωση του λόγου στην επόμενη δημοσίευση μου): αυτό προκύπτει από το προ ημερών αποτέλεσμα του Βασίλη και από το δικό μου αποτέλεσμα παρακάτω (στο οποίο έφτασα χωρίς να έχω δει την σημερινή ανάρτηση του Γιώργη):

Η κάθετος επί της εφαπτομένης στο A=(a,ra^2)

τέμνει την παραβολή στο $B=\left(-\dfrac{1}{2r^2a}-a,\dfrac{1}{4r^3a^2}+\dfrac{1}{r}+ra^2\right)$ , και οι εφαπτόμενες στα

,

τέμνονται στο $C=\left(-\dfrac{1}{4r^2a},-\dfrac{1}{2r}-ra^2\right)$ .

Εύκολα* προκύπτει τώρα ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ABC

ισούται προς

$\dfrac{1}{2}\displaystyle\sqrt{\left(2a+\dfrac{1}{2r^2a}\right)^2+\left(\dfrac{1}{4r^3a^2}+\dfrac{1}{r}\right)^2}\cdot \sqrt{\left(a+\dfrac{1}{4r^2a}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2r}+2ra^2\right)^2}=$

$=\dfrac{1}{2}(4r^2a^2+1)^2\displaystyle\sqrt{\left(\dfrac{1}{4r^4a^2}+\dfrac{1}{16r^6a^4}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{16r^4a^2}+\dfrac{1}{4r^2}\right)}=$

$=\dfrac{(4r^2a^2+1)^3}{32r^5a^3},$

και από την $\left(\dfrac{(4r^2a^2+1)^3}{32r^5a^3}\right)'=\dfrac{3(4r^2a^2-1)(4r^2a^2+1)^5}{256r^{10}a^7}$ εύκολα βρίσκουμε ότι το εμβαδόν του ABC

ελαχιστοποιείται για $a=\dfrac{1}{2r}$ .

*όλα αυτά μπορούν βέβαια να γίνουν με το χέρι, δεν το είχα αντιληφθεί όμως εξ αρχής, απλά μου το υπέδειξε ευγενικά το WolframAlpha

#9

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 15, 2017 12:44 pm
Παραβολικό χωρίο γ.pngΕίναι : $E_{\pi a\rho}=\dfrac{4}{3}(KAB) , (1)$ και $(SAB)=\dfrac{3}{2}E_{\pi a\rho} , (2)$ , δηλαδή :

και επιπλέον τα είναι συνευθειακά .

Η εύρεση του είναι απλή , ( το είναι το μέσο του - σχετική εφαρμογή

υπάρχει στο σχολικό της Γ' Λυκείου ) . Δεν γνωρίζω αν υπάρχει απόδειξη του ,

εικάζω πάντως ότι δεν είναι κάτι ιδιαίτερα δύσκολο

Σημείωση : Άξονας συμμετρίας της παραβολής θεωρήθηκε ο

Γνωστά πράγματα στον Αρχιμήδη. Αν η SK τεμνει την AB στο C , τότε, αφού είναι παράλληλη στον άξονα της παραβολής, το K είναι μέσο της SC και η (2) έπεται άμεσα.

Ακόμα, με τα δεδομένα του προβλήματος, η ΑΚ διέρχεται από την εστία της παραβολής και το εμβαδόν ελαχιστοποιείται, όταν η ΑΚ είναι καθετη στον άξονα της παραβολής.

#10

gbaloglou έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 15, 2017 12:58 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 12, 2017 2:13 pm

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 12, 2017 9:38 am
Καλημέρα Θανάση και Βασίλη
Ένα μεγάλο και στους δύο.

Το ενδιαφέρον είναι ότι στην ίδια θέση ελαχιστοποιείται και το εμβαδόν
του τριγώνου $\displaystyle ABC$ όπου $\displaystyle C$ είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων στα $\displaystyle A,B$
Υπάρχει σχέση (ευθείας αναλογίας) ανάμεσα στα δύο εμβαδά (τριγώνου και παραβολικού χωρίου); [Οι πράξεις είναι πολλές και διστάζω ... ιδίως αν είναι γνωστό αποτέλεσμα!]
Πράγματι ο λόγος των εμβαδών (ορθογωνίου τριγώνου προς παραβολικού χωρίου), για την γενικότερη παραβολή , ισούται προς : αυτό προκύπτει από το προ ημερών αποτέλεσμα του Βασίλη και από το δικό μου αποτέλεσμα παρακάτω (στο οποίο έφτασα χωρίς να έχω δει την σημερινή ανάρτηση του Γιώργη):

Διορθώνω: ο λόγος του εμβαδού του ορθογωνίου τριγώνου προς το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου ισούται όχι προς

αλλά προς $\dfrac{3}{2}$ ... καθώς το πρώτο εμβαδόν ισούται προς $\dfrac{(4r^2a^2+1)^3}{32r^5a^3}$ (όπως προκύπτει από την σημερινή δημοσίευση του Γιώργη, αλλά και την δική μου) ενώ το δεύτερο εμβαδόν ισούται προς $\dfrac{(4r^2a^2+1)^3}{48r^5a^3}$ .

Το δεύτερο εμβαδόν το έχει ουσιαστικά υπολογίσει ο Βασίλης, αλλά το επαληθεύω εν συντομία: η εξίσωση της

είναι η $y=-\dfrac{x}{2ra}+\dfrac{1}{2r}+ra^2$ , οπότε ολοκληρώνοντας την $-\dfrac{x}{2ra}+\dfrac{1}{2r}+ra^2-rx^2$ από $-\dfrac{1}{2r^2a}-a$ έως

λαμβάνουμε $\dfrac{(4r^2a^2+1)^3}{48r^5a^3}$ .

[Τα παραπάνω συμφωνούν επίσης με την γεωμετρική προσέγγιση του Θανάση και του Κώστα.]

Ελάχιστο παραβολικού χωρίου

Ελάχιστο παραβολικού χωρίου

Re: Ελάχιστο παραβολικού χωρίου

Re: Ελάχιστο παραβολικού χωρίου

Re: Ελάχιστο παραβολικού χωρίου

Re: Ελάχιστο παραβολικού χωρίου

Re: Ελάχιστο παραβολικού χωρίου

Re: Ελάχιστο παραβολικού χωρίου

Re: Ελάχιστο παραβολικού χωρίου

Re: Ελάχιστο παραβολικού χωρίου

Re: Ελάχιστο παραβολικού χωρίου

Μέλη σε σύνδεση