Υπολογίστε (2)

#1

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : $\displaystyle \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{1}{{1 + {{\tan }^{2017}}x}}\,} dx$

(Θέμα διαγωνισμού )

Tolaso J Kos · #2

exdx έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 26, 2018 9:20 am
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : $\displaystyle \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{1}{{1 + {{\tan }^{2017}}x}}\,} dx$

(Θέμα διαγωνισμού )

Γεια σου Γιώργη,
$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J} (\alpha) &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{{\rm d}x}{1+\tan^\alpha x} \\ &\!\!\!\!\!\!\overset{u=\pi/2-x}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{\pi/2} \frac{{\rm d}x}{1+ \cot^\alpha x}\\ &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{\tan^\alpha x}{1+\tan^\alpha x} \, {\rm d}x \\ &= \frac{1}{2} \left ( \int_{0}^{\pi/2} \frac{{\rm d}x}{1+\tan^\alpha x} + \int_{0}^{\pi/2} \frac{\tan^\alpha x}{1+\tan^\alpha x} \, {\rm d}x \right ) \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \, {\rm d}x \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}}$ όπου $\alpha \geq 0$ πραγματική σταθερά.

Σημείωση: Το έχεις ξανά βάλει πριν κάποια χρόνια. Πάντως το ολοκλήρωμα είναι γενικευμένο αφού στο $\frac{\pi}{2}$ η εφαπτομένη δεν ορίζεται.

Υπολογίστε (2)

Υπολογίστε (2)

Re: Υπολογίστε (2)

Μέλη σε σύνδεση