Ένα εμβαδόν

#1

Καλησπέρα

και καλό μήνα

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f$ με τύπο $\displaystyle f(x)=\sqrt{4x-{{x}^{2}}}$ .
Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας της $\displaystyle {{C}_{f}}$ που διέρχεται από το σημείο $\displaystyle A(6,0)$ .
Β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ , την εφαπτομένη και τον άξονα $\displaystyle {x}'x$ .

#2

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 01, 2018 11:50 pm
Καλησπέρα και καλό μήνα

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f$ με τύπο $\displaystyle f(x)=\sqrt{4x-{{x}^{2}}}$ .
Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας της $\displaystyle {{C}_{f}}$ που διέρχεται από το σημείο $\displaystyle A(6,0)$ .
Β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ , την εφαπτομένη και τον άξονα $\displaystyle {x}'x$ .

...μιά αντιμετώπιση στη χάρη της γεωμετρίας!!!

Α) Η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\sqrt{4x-{{x}^{2}}}$ ορίζεται όταν $4x-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 0\le x\le 4$

και είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα στο διάστημα $(0,\,4)$ με ${f}'(x)=\frac{4-2x}{2\sqrt{4x-{{x}^{2}}}}=\frac{2-x}{\sqrt{4x-{{x}^{2}}}}$

και η εφαπτομένη της σε σημείο με τετμημένη ${{x}_{0}}\in (0,\,4)$ είναι $y-f({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$

και για να περνάει από το $\displaystyle A(6,0)$ πρέπει να ισχύει

$0-f({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})(6-{{x}_{0}})\Leftrightarrow -\sqrt{4{{x}_{0}}-x_{0}^{2}}=\frac{2-{{x}_{0}}}{\sqrt{4{{x}_{0}}-x_{0}^{2}}}(6-{{x}_{0}})\Leftrightarrow$

$-{{\sqrt{4{{x}_{0}}-x_{0}^{2}}}^{2}}=(2-{{x}_{0}})(6-{{x}_{0}})\Leftrightarrow -4{{x}_{0}}+x_{0}^{2}=12-8{{x}_{0}}+x_{0}^{2}\Leftrightarrow$

$4{{x}_{0}}=12\Leftrightarrow {{x}_{0}}=3$ . Επομένως η εφαπτομένη που περνάει από το σημείο $\displaystyle A(6,0)$ έχει αναλυτική εξίσωση

$y-f(3)={f}'(3)(x-3)\Leftrightarrow y-\sqrt{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-3)\Leftrightarrow y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2\sqrt{3}$

: 01042018 ΕΝΑ ΕΜΒΑΔΟ.jpg (20.2 KiB) Προβλήθηκε 882 φορές

Β) Από την ισότητα $y=f(x)=\sqrt{4x-{{x}^{2}}},\,\,\,x\in [0,\,4],\,\,y\ge 0$ έχουμε ότι

${{y}^{2}}=4x-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4+{{y}^{2}}=4\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$

που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

είναι το ημικύκλιο πάνω από τον {x}'x

του κύκλου κέντρου K(2,0)

ακτίνας

$\rho =2$ , η εφαπτομένη είναι πάνω από την ${{C}_{f}}$ και όπως φαίνεται και στο σχήμα το ζητούμενο εμβαδό είναι το σκιασμένο μέρος

που είναι το εμβαδό του ορθογωνίου τριγώνου KMA

που είναι ${{E}_{KMA}}=\frac{1}{2}\beta \upsilon =\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3=9$ μείον το

εμβαδό του κυκλικού τομέα $KM\Delta$ που είναι ${{E}_{\overset\frown{KM\Delta }}}=\frac{\pi {{\rho }^{2}}}{6}=\frac{\pi {{4}^{2}}}{6}=\frac{8\pi }{3}$ γιατί η

$K\Delta$ διάμεσος στο ορθογώνιο τρίγωνο KMA

είναι $KM=\frac{1}{2}KA=2=\rho$ άρα

$KM\Delta$ τρίγωνο ισόπλευρο και άρα γωνία $\widehat{MK\Delta }=\frac{\pi }{3}$ επομένως ο κυκλικός τομέας είναι το $\frac{1}{6}$ του κύκλου.

Έτσι το ζητούμενο εμβαδό είναι $E=9-\frac{8\pi }{3}=\frac{27-8\pi }{3}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ratio · #3

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Δευ Απρ 02, 2018 1:44 am

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 01, 2018 11:50 pm
Καλησπέρα και καλό μήνα

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f$ με τύπο $\displaystyle f(x)=\sqrt{4x-{{x}^{2}}}$ .
Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας της $\displaystyle {{C}_{f}}$ που διέρχεται από το σημείο $\displaystyle A(6,0)$ .
Β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ , την εφαπτομένη και τον άξονα $\displaystyle {x}'x$ .

Θέλει διόρθωση η ακτίνα στο εμβαδό του κυκλικού τομέα : είναι και όχι $4^{2}$ , άρα ο κυκλικός τομέας έχει εμβαδό $\frac{2\pi}{3}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ένα εμβαδόν

Ένα εμβαδόν

Re: Ένα εμβαδόν

Re: Ένα εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση