Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2559
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τρί Απρ 03, 2018 5:39 pm

Δε θυμάμαι αν την έχουμε ξαναδεί. Μου έκανε εντύπωση πόσο «σφιχτή» είναι:

Να αποδειχθεί ότι : \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} e^{x^2} dx < 1

Νομίζω ότι δεν μπορεί να γίνει καλύτερη = με μικρότερο φράγμα.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2901
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 03, 2018 7:05 pm

polysot έγραψε:
Τρί Απρ 03, 2018 5:39 pm
Δε θυμάμαι αν την έχουμε ξαναδεί. Μου έκανε εντύπωση πόσο «σφιχτή» είναι:

Να αποδειχθεί ότι : \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} e^{x^2} dx < 1

Νομίζω ότι δεν μπορεί να γίνει καλύτερη = με μικρότερο φράγμα.
Το ολοκλήρωμα μπορούμε να το υπολογίσουμε με όση ακρίβεια θέλουμε.

Στο συγκεκριμένο.

Εχουμε ότι x\in [0,1]\Rightarrow e^{x}\leq 1+x+\frac{x^{2}}{2}+e\frac{x^{3}}{6}

Η απόδειξη γίνεται είτε με Taylor είτε θεωρώντας την συνάρτηση και παραγωγίζοντας τρεις φορές.

θέτοντας όπου x το x^{2} και ολοκληρώνοντας βγάζουμε ότι

\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}e^{x^{2}}dx\leq \frac{\pi }{4}+\frac{1}{3}(\frac{\pi }{4})^{3}+\frac{1}{10}(\frac{\pi }{4})^{5}+e\frac{1}{42}(\frac{\pi }{4})^{7}

χρησιμοποιώντας ότι  \frac{\pi }{4}\leq 0,7854,e\leq 2,72

και κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι το ολοκλήρωμα είναι μικρότερο από 0,9988

συμπλήρωμα.Διόρθωσα τυπογραφικό.Ευχαριστώ τον Γιώργη (exdx) για την επισήμανση του.


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2559
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τρί Απρ 03, 2018 9:09 pm

Χωρίς Taylor όμως; Με τα σχολικά;


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2901
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 03, 2018 10:27 pm

polysot έγραψε:
Τρί Απρ 03, 2018 9:09 pm
Χωρίς Taylor όμως; Με τα σχολικά;
Να το γράψω με σχολικά.Με ακροβατικό βέβαια.

Τα οποία βέβαια είναι συνηθισμένο φαινόμενο.(τα ακροβατικά)

Θέτουμε f(x)=e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}-e\frac{x^{3}}{6}

Είναι

f'(x)=e^{x}-1-x-e\frac{x^{2}}{2},f''(x)=e^{x}-1-ex,f'''(x)=e^{x}-e

και f(0)=f'(0)=f''(0)=0


Επίσης x\in [0,1]\Rightarrow f'''(x)=e^{x}-e\leq 0

Με επιχειρήματα μονοτονίας προκύπτει ότι

x\in [0,1]\Rightarrow f(x)\leq 0

από όπου προκύπτει το ζητούμενο(βλέπε παραπάνω)


Να σημειώσω το εξής.Με σχολικά μαθηματικά μπορούν να αποδειχθούν παπάδες.(δηλαδή πολύ βαρεία θεωρήματα)
Γιατί τελικά όλα τα Μαθηματικά βασίζονται σε στοιχειώδη εκ πρώτης όψεως πράγματα.
Φυσικά αυτό το ολοκλήρωμα δεν είναι για σχολικά Μαθηματικά,καθώς και πολλά άλλα που εμφανίζονται στο :logo: και αλλού.

Πχ οι ανισότητες στο https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 77#p271477
δίνουν την καλύτερη σταθερά στην ανισότητα του M.Riesz για την συζηγή συνάρτηση.Αποδεικνύονται με σχολική ύλη.
Δεν σημαίνει ότι είναι σχολικά Μαθηματικά.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 618
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Απρ 03, 2018 10:48 pm

polysot έγραψε:
Τρί Απρ 03, 2018 5:39 pm
Δε θυμάμαι αν την έχουμε ξαναδεί. Μου έκανε εντύπωση πόσο «σφιχτή» είναι:

Να αποδειχθεί ότι : \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} e^{x^2} dx < 1

Νομίζω ότι δεν μπορεί να γίνει καλύτερη = με μικρότερο φράγμα.
Αν θεωρήσουμε f(x)=e^{x^2} αποδεικνύουμε (σχολικά) ότι

\left | \frac{\pi }{4n}\sum_{i=0}^{n-1}f(\frac{i\pi }{4n})-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}f(x)dx \right |\leq \sum_{i=0}^{n-1}{f}'(\frac{(i+1)\pi }{4n}) \int_{\frac{i\pi }{4n}}^{\frac{(i+1)\pi }{4n}}\left ( x-\frac{i\pi }{4n} \right ) dx

Έτσι παίρνουμε πάνω και κάτω φράγματα. Για n=6 το άνω φράγμα έχει πέσει κάτω από το 1.

Την απόδειξη της παραπάνω την αφήνω ως άσκηση για όποιον ενδιαφέρεται.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Απρ 03, 2018 10:58 pm

Μπορούμε επίσης να επωφεληθούμε από την κυρτότητα της e^{x^2} και να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του τραπεζίου με διαχωρισμό στα τρία (το φράγμα από την τμηματικά γραμμική συνάρτηση μπορεί να αποδειχθεί σχολικά).

Έτσι \displaystyle \int_0^{\pi/4} e^{x^2} \mathrm{d}x < \frac{\pi}{24} \left( 1 + 2 \mathrm{e}^{\pi^2/144} + 2 \mathrm{e}^{\pi^2/36} + \mathrm{e}^{\pi^2/16} \right) = 0.9982....


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2559
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τρί Απρ 03, 2018 11:11 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Απρ 03, 2018 10:27 pm
polysot έγραψε:
Τρί Απρ 03, 2018 9:09 pm
Χωρίς Taylor όμως; Με τα σχολικά;
Να το γράψω με σχολικά.Με ακροβατικό βέβαια.

Τα οποία βέβαια είναι συνηθισμένο φαινόμενο.(τα ακροβατικά)

Θέτουμε f(x)=e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}-e\frac{x^{3}}{6}

Είναι

f'(x)=e^{x}-1-x-e\frac{x^{2}}{2},f''(x)=e^{x}-1-ex,f'''(x)=e^{x}-e

και f(0)=f'(0)=f''(0)=0


Επίσης x\in [0,1]\Rightarrow f'''(x)=e^{x}-e\leq 0

Με επιχειρήματα μονοτονίας προκύπτει ότι

x\in [0,1]\Rightarrow f(x)\leq 0

από όπου προκύπτει το ζητούμενο(βλέπε παραπάνω)


Να σημειώσω το εξής.Με σχολικά μαθηματικά μπορούν να αποδειχθούν παπάδες.(δηλαδή πολύ βαρεία θεωρήματα)
Γιατί τελικά όλα τα Μαθηματικά βασίζονται σε στοιχειώδη εκ πρώτης όψεως πράγματα.
Φυσικά αυτό το ολοκλήρωμα δεν είναι για σχολικά Μαθηματικά,καθώς και πολλά άλλα που εμφανίζονται στο :logo: και αλλού.

Πχ οι ανισότητες στο https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 77#p271477
δίνουν την καλύτερη σταθερά στην ανισότητα του M.Riesz για την συζηγή συνάρτηση.Αποδεικνύονται με σχολική ύλη.
Δεν σημαίνει ότι είναι σχολικά Μαθηματικά.
Σταύρο προφανώς και έτσι δουλεύει!
ΟΜΩΣ, πώς θα εξηγήσεις που στο καλό βρέθηκε αυτή η συνάρτηση σε μαθητή Γ΄λυκείου. Πώς την υποψιάστηκες τη συνάρτηση χωρίς άλλα ερωτήματα; Κατάλαβες τι θέλω να πω πιστεύω!


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2901
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 03, 2018 11:36 pm

polysot έγραψε:
Τρί Απρ 03, 2018 11:11 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Απρ 03, 2018 10:27 pm
polysot έγραψε:
Τρί Απρ 03, 2018 9:09 pm
Χωρίς Taylor όμως; Με τα σχολικά;
Να το γράψω με σχολικά.Με ακροβατικό βέβαια.

Τα οποία βέβαια είναι συνηθισμένο φαινόμενο.(τα ακροβατικά)

Θέτουμε f(x)=e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}-e\frac{x^{3}}{6}

Είναι

f'(x)=e^{x}-1-x-e\frac{x^{2}}{2},f''(x)=e^{x}-1-ex,f'''(x)=e^{x}-e

και f(0)=f'(0)=f''(0)=0


Επίσης x\in [0,1]\Rightarrow f'''(x)=e^{x}-e\leq 0

Με επιχειρήματα μονοτονίας προκύπτει ότι

x\in [0,1]\Rightarrow f(x)\leq 0

από όπου προκύπτει το ζητούμενο(βλέπε παραπάνω)


Να σημειώσω το εξής.Με σχολικά μαθηματικά μπορούν να αποδειχθούν παπάδες.(δηλαδή πολύ βαρεία θεωρήματα)
Γιατί τελικά όλα τα Μαθηματικά βασίζονται σε στοιχειώδη εκ πρώτης όψεως πράγματα.
Φυσικά αυτό το ολοκλήρωμα δεν είναι για σχολικά Μαθηματικά,καθώς και πολλά άλλα που εμφανίζονται στο :logo: και αλλού.

Πχ οι ανισότητες στο https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 77#p271477
δίνουν την καλύτερη σταθερά στην ανισότητα του M.Riesz για την συζηγή συνάρτηση.Αποδεικνύονται με σχολική ύλη.
Δεν σημαίνει ότι είναι σχολικά Μαθηματικά.
Σταύρο προφανώς και έτσι δουλεύει!
ΟΜΩΣ, πώς θα εξηγήσεις που στο καλό βρέθηκε αυτή η συνάρτηση σε μαθητή Γ΄λυκείου. Πώς την υποψιάστηκες τη συνάρτηση χωρίς άλλα ερωτήματα; Κατάλαβες τι θέλω να πω πιστεύω!
Σωτήρη μια χαρά καταλαβαίνω.Αν και πολλές φορές κάνω πως δεν καταλαβαίνω.
Η απάντηση στο ''πώς θα εξηγήσεις που στο καλό βρέθηκε αυτή η συνάρτηση σε μαθητή Γ΄λυκείου'' για μένα είναι απλή.
Σε κάποιους θα πω ,αφήστε το, μάθετε τα βασικά και μετά ελάτε να σας την εξηγήσω και σε κάποιους θα τους εξηγήσω ότι αυτά θα τα μάθουν στο Πανεπιστήμιο και σε όποιον έχει διάθεση θα του αποδείξω τον Taylor (την ειδική περίπτωση που η παράγωγος στο υπόλοιπο είναι συνεχής).
Πάντως η αίσθηση μου είναι ότι σε σχέση με άλλα που κυκλοφορούν αυτή η συνάρτηση είναι ''φυσιολογική''
Και σε κάθε περίπτωση έχω γράψει παραπάνω
''Φυσικά αυτό το ολοκλήρωμα δεν είναι για σχολικά Μαθηματικά,καθώς και πολλά άλλα που εμφανίζονται στο :logo: και αλλού.''


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2559
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Παρ Απρ 06, 2018 5:27 pm

Μου εμφανίστηκε και το «υπόλοιπο » του ερωτήματος:

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (1 + \tan^2(x))e^{-x^2}, x \in [0,\frac{\pi}{2}).
Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.
Να αποδειχθεί ότι \displaystyle \int_0^{\pi/4} e^{x^2} \mathrm{d}x < 1.

Μελετώντας την f ως προς τη μονοτονία έχουμε :
f'(x) = -2 \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{e^{x^2} \cos^3 (x)}

Ισχύει ότι f'(x) >0 , \forall x \in (0,\frac{\pi}{2}).

Συνεπώς, για 0< x < \frac{\pi}{4} \Rightarrow f(0) < f(x) < f(\frac{\pi}{4}) .

Οπότε: f(0) < f(x), \forall x\in (0, \pi/4).

Τώρα είναι: 1 < (1 + \tan^2 (x) )e^{-x^2}  \Rightarrow e^{x^2} < 1 + \tan^2 (x) = \frac{1}{\cos^2 (x)} \Rightarrow
\displaystyle \int_0^{\pi/4} e^{x^2} \mathrm{d}x < \int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos^2 (x)}  \mathrm{d}x = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0) = 1  .

Διόρθωσα τυπογραφικό αντιγραφής στην παράγωγο. Ευχαριστώ Σταύρο για την επισήμανση!
τελευταία επεξεργασία από polysot σε Παρ Απρ 06, 2018 9:33 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11370
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 06, 2018 7:03 pm

σφικτό.png
σφικτό.png (17.29 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές
Εντυπωσιακή "ανακάλυψη" ! Ερώτημα : Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε

τη συνάρτηση : h(x)=1+tan^2x-e^{x^2} ;


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης