Υπολογισμός ολοκληρώματος

#1

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^3}x \cdot {{\cos }^3}x}}} dx$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 09, 2018 7:59 pm
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^3}x \cdot {{\cos }^3}x}}} dx$

...ας το υπολογίσουμε....

$I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{{{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{4}}x}{{{\sin }^{3}}x\cdot {{\cos }^{3}}x}}dx=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{{{\sin }^{4}}x}{{{\sin }^{3}}x\cdot {{\cos }^{3}}x}}dx-\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{{{\cos }^{4}}x}{{{\sin }^{3}}x\cdot {{\cos }^{3}}x}}dx$

$=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin x}{{{\cos }^{3}}x}}dx-\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\cos x}{{{\sin }^{3}}x}}dx=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x}\cdot \frac{1}{\cos x}}dx-\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}\cdot \frac{1}{\sin x}}dx$

$\displaystyle =\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{{{\left( \frac{1}{\cos x} \right)}^{\prime }}\cdot \frac{1}{\cos x}}dx+\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{{{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}\cdot \frac{1}{\sin x}}dx=$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{{{\left( {{\left[ \frac{1}{\cos x} \right]}^{2}} \right)}^{\prime }}}dx+\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{{{\left( {{\left[ \frac{1}{\sin x} \right]}^{2}} \right)}^{\prime }}}dx=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \right]_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}+\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right]_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\left[ \frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x} \right]_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x} \right]_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{2}{3}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

kfd · #3

Υπολογισμός ολοκληρώματος

Υπολογισμός ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση