Άλλο ένα ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9330
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Άλλο ένα ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 11, 2018 7:44 pm

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\frac{{{e^{\sin x}} + {{\sin }^2}x}}{{{e^{\cos x}} + {{\cos }^2}x}}} \right)} dx



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άλλο ένα ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Απρ 11, 2018 7:53 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Απρ 11, 2018 7:44 pm
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\frac{{{e^{\sin x}} + {{\sin }^2}x}}{{{e^{\cos x}} + {{\cos }^2}x}}} \right)} dx
Γεια σου Γιώργο. Αν δηλώσουμε με \mathcal{J} το ζητούμενο ολοκλήρωμα τότε έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{J} &=\int_{0}^{\pi/2} \ln \left ( \frac{e^{\sin x}+\sin^2 x}{e^{\cos x} + \cos^2 x} \right ) \, {\rm d}x \\ 
&\!\!\!\!\!\!\overset{u=\pi/2-x}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{\pi/2} \ln \left ( \frac{e^{\cos x} + \cos^2 x}{e^{\sin x}+\sin^2 x} \right ) \, {\rm d}x \\  
 &= - \int_{0}^{\pi/2} \ln \left ( \frac{e^{\sin x}+\sin^2 x}{e^{\cos x} + \cos^2 x} \right ) \, {\rm d}x\\  
 &= -\mathcal{J} 
\end{aligned}}
και τελικά \mathcal{J}=0.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης