Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Απρ 29, 2018 1:32 pm

Η συνάρτηση \displaystyle f(x)={{e}^{\frac{1}{\ln x}}} μπορεί να οριστεί κατάλληλα ώστε να είναι συνεχής στο \displaystyle [0,1]
Δείξτε ότι \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{\frac{1}{\ln x}}}dx}\ge 0.27

Η έμπνευση από εδώ


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Απρ 29, 2018 8:14 pm

exdx έγραψε:
Κυρ Απρ 29, 2018 1:32 pm
Η συνάρτηση \displaystyle f(x)={{e}^{\frac{1}{\ln x}}} μπορεί να οριστεί κατάλληλα ώστε να είναι συνεχής στο \displaystyle [0,1]
Δείξτε ότι \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{\frac{1}{\ln x}}}dx}\ge 0.27

Η έμπνευση από εδώ
Δε θεωρώ ότι η άσκηση αυτή κάνει για Γ' Λυκείου. Επειδή οι ανισότητες δεν είναι το ατού μου αλλά τα ολοκληρώματα είναι δίδω μία προσέγγιση η οποία φαίνεται να οδηγεί σε λύση.

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{1} \exp \left ( \frac{1}{\ln x} \right ) \, \mathrm{d}x  &= \int_{0}^{\infty} \exp \left ( -x - \frac{1}{x} \right ) \, \mathrm{d}x\\  
 &=2 \mathrm{K}_1(2) \\  
 &=4 \int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{x^2-1}}{e^{2x}} \, \mathrm{d}x \\  
 &=\frac{4}{e^2} \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x(x+2)}}{e^{2x}} \, \mathrm{d}x \\  
 &= \frac{16}{e^2} \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x(x+1)}}{e^{4x}} \, \mathrm{d}x  
\end{aligned}}
Τώρα φαίνεται ότι αν εφαρμόσουμε κατά παράγοντες ή Cauchy - Schwarz ή Jensen ή συνδυασμό των προηγουμένων ότι μπορούμε να το προσεγγίσουμε πολύ καλά. Το αφήνω σε κάποιον άλλο.


Σημείωση: Από το Wolfram είδα ότι \displaystyle{\int_{0}^{1} \exp \left ( \frac{1}{\ln x} \right ) \, \mathrm{d}x = 2 \mathrm{K}_1(2)} όπου \mathrm{K}_n(x) η συνάρτηση Bessel δευτέρου είδους. Χρησιμοποιήθηκε η σχέση (7) από το σύνδεσμο .... !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1842
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Απρ 29, 2018 8:52 pm

Έστω λοιπόν για την,

\displaystyle f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 
1,x = 0\\ 
\\ 
{e^{\frac{1}{{\ln x}}}},0 < x < 1\\ 
\\ 
0,x = 1 
\end{array} \right.

τότε αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση είναι κυρτή , ότι τέμνει την ευθεία y=x στο σημείο A(\frac{1}{e},\frac{1}{e}) και ότι η εφαπτομένη της στο σημείο αυτό είναι η y=-x+\frac{2}{e} .

\displaystyle \begin{array}{l} 
f\left( x \right) \ge  - x + \frac{2}{e},x \in \left[ {0,1} \right]\\ 
 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx > \int\limits_0^{\frac{2}{e}} {f\left( x \right)} \,dx \ge \int\limits_0^{\frac{2}{e}} { - x + \frac{2}{e}} \,dx = \frac{2}{{{e^2}}} 
\end{array}


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Απρ 29, 2018 9:00 pm

Christos.N έγραψε:
Κυρ Απρ 29, 2018 8:52 pm
Έστω λοιπόν για την,

\displaystyle f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 
1,x = 0\\ 
\\ 
{e^{\frac{1}{{\ln x}}}},0 < x < 1\\ 
\\ 
0,x = 1 
\end{array} \right.

τότε αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση είναι κυρτή , ότι τέμνει την ευθεία y=x στο σημείο A(\frac{1}{e},\frac{1}{e}) και ότι η εφαπτομένη της στο σημείο αυτό είναι η y=-x+\frac{2}{e} .

\displaystyle \begin{array}{l} 
f\left( x \right) \ge  - x + \frac{2}{e},x \in \left[ {0,1} \right]\\ 
 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx > \int\limits_0^{\frac{2}{e}} {f\left( x \right)} \,dx \ge \int\limits_0^{\frac{2}{e}} { - x + \frac{2}{e}} \,dx = \frac{2}{{{e^2}}} 
\end{array}
:shock: :shock:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες