Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#1

Η συνάρτηση $\displaystyle f(x)={{e}^{\frac{1}{\ln x}}}$ μπορεί να οριστεί κατάλληλα ώστε να είναι συνεχής στο $\displaystyle [0,1]$
Δείξτε ότι $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{\frac{1}{\ln x}}}dx}\ge 0.27$

Η έμπνευση από εδώ

Tolaso J Kos · #2

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 29, 2018 1:32 pm
Η συνάρτηση $\displaystyle f(x)={{e}^{\frac{1}{\ln x}}}$ μπορεί να οριστεί κατάλληλα ώστε να είναι συνεχής στο $\displaystyle [0,1]$
Δείξτε ότι $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{\frac{1}{\ln x}}}dx}\ge 0.27$

Η έμπνευση από εδώ

Δε θεωρώ ότι η άσκηση αυτή κάνει για Γ' Λυκείου. Επειδή οι ανισότητες δεν είναι το ατού μου αλλά τα ολοκληρώματα είναι δίδω μία προσέγγιση η οποία φαίνεται να οδηγεί σε λύση.

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} \exp \left ( \frac{1}{\ln x} \right ) \, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{\infty} \exp \left ( -x - \frac{1}{x} \right ) \, \mathrm{d}x\\ &=2 \mathrm{K}_1(2) \\ &=4 \int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{x^2-1}}{e^{2x}} \, \mathrm{d}x \\ &=\frac{4}{e^2} \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x(x+2)}}{e^{2x}} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{16}{e^2} \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x(x+1)}}{e^{4x}} \, \mathrm{d}x \end{aligned}}$
Τώρα φαίνεται ότι αν εφαρμόσουμε κατά παράγοντες ή Cauchy - Schwarz ή Jensen ή συνδυασμό των προηγουμένων ότι μπορούμε να το προσεγγίσουμε πολύ καλά. Το αφήνω σε κάποιον άλλο.

Σημείωση: Από το Wolfram είδα ότι $\displaystyle{\int_{0}^{1} \exp \left ( \frac{1}{\ln x} \right ) \, \mathrm{d}x = 2 \mathrm{K}_1(2)}$ όπου $\mathrm{K}_n(x)$ η συνάρτηση Bessel δευτέρου είδους. Χρησιμοποιήθηκε η σχέση (7)

από το σύνδεσμο .... !!

Christos.N · #3

Έστω λοιπόν για την,

$\displaystyle f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1,x = 0\\ \\ {e^{\frac{1}{{\ln x}}}},0 < x < 1\\ \\ 0,x = 1 \end{array} \right.$

τότε αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση είναι κυρτή , ότι τέμνει την ευθεία y=x

στο σημείο $A(\frac{1}{e},\frac{1}{e})$ και ότι η εφαπτομένη της στο σημείο αυτό είναι η $y=-x+\frac{2}{e}$ .

$\displaystyle \begin{array}{l} f\left( x \right) \ge - x + \frac{2}{e},x \in \left[ {0,1} \right]\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx > \int\limits_0^{\frac{2}{e}} {f\left( x \right)} \,dx \ge \int\limits_0^{\frac{2}{e}} { - x + \frac{2}{e}} \,dx = \frac{2}{{{e^2}}} \end{array}$

Tolaso J Kos · #4

Christos.N έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 29, 2018 8:52 pm
Έστω λοιπόν για την,

$\displaystyle f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1,x = 0\\ \\ {e^{\frac{1}{{\ln x}}}},0 < x < 1\\ \\ 0,x = 1 \end{array} \right.$

τότε αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση είναι κυρτή , ότι τέμνει την ευθεία στο σημείο $A(\frac{1}{e},\frac{1}{e})$ και ότι η εφαπτομένη της στο σημείο αυτό είναι η $y=-x+\frac{2}{e}$ .

$\displaystyle \begin{array}{l} f\left( x \right) \ge - x + \frac{2}{e},x \in \left[ {0,1} \right]\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx > \int\limits_0^{\frac{2}{e}} {f\left( x \right)} \,dx \ge \int\limits_0^{\frac{2}{e}} { - x + \frac{2}{e}} \,dx = \frac{2}{{{e^2}}} \end{array}$

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση