Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μάιος 14, 2018 11:59 am

Έστω f(x) = \sqrt{x} \ln x \; , \; x>0. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{1}^{e^2} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 652
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Μάιος 14, 2018 12:39 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Μάιος 14, 2018 11:59 am
Έστω f(x) = \sqrt{x} \ln x \; , \; x>0. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{1}^{e^2} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x}

\int_{1}^{e^2} \frac{f(x)}{x} dx=\int_{1}^{e^2} \frac{\sqrt{x}}{x} lnxdx=\int_{1}^{e^2} \frac{1}{\sqrt{x}} lnxdx(1)

Θέτουμε u=\sqrt{x} και παίρνουμε


(1)=2\int_{1}^{e} ln(u^2)du =4\int_{1}^{e} lnudu=4\int_{1}^{e} {u}'lnudu=4\left ( [ ulnu]_{1}^{e}\right-\int_{1}^{e}1du )=4(e-(e-1))=4.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Δευ Μάιος 14, 2018 12:59 pm

Νομίζω ότι ο πιο σύντομος τρόπος είναι η αντικατάσταση

Θέτουμε \sqrt(x)=u με x=u^{2}

\int_{1}^{e^2}\frac{f(x)}{x}=\int_{1}^{e^2}\frac{lnx}{\sqrt(x)}

lnx=lnu^{2}=2lnu

\frac{dx}{\sqrt(x)}=2du


και τα άκρα αλλάζουν από x=1 \rightarrow u=1 και x=e^{2}\rightarrow u=e

οπότε το ολοκλήρωμα είναι ως εξής:

\int_{1}^{e}4lnudu=4[ulnu-u]_{1}^{e}=4(elne-e+1)=4


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μάιος 14, 2018 1:34 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Μάιος 14, 2018 11:59 am
Έστω f(x) = \sqrt{x} \ln x \; , \; x>0. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{1}^{e^2} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x}

Μία διαφορετική αντιμετώπιση:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{1}^{e^2} \frac{\sqrt{x} \ln x}{x} \, \mathrm{d}x &= \int_{1}^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x \\  
 &= \left [ 2 \sqrt{x} \ln x \right ]_1{e^2} - 2\int_{1}^{e^2} \frac{\sqrt{x}}{x} \, \mathrm{d}x \\  
 &= 2 \sqrt{e^2} \ln e^2 - 2 \int_{1}^{e^2} \frac{1}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x\\  
 &= 4e - 2 \left [ 2 \sqrt{x} \right ]_1^{e^2}  \\  
 &= \cancel{4e - 4e} + 4 \\ 
 &= 4 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες