Εύρεση συνάρτησης

Tolaso J Kos · #1

Παρόμοια κεντρική ιδέα ντυμένη αλλιώς...

Να βρεθεί η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ αν ισχύει ότι:

$f \left( \frac{\pi}{2} \right) =1$
$f'(x) = \cos x + \left ( \bigintsss \limits_{0}^{\pi/2} \left | f(t) \right | \, \mathrm{d}t \right ) \sin x$

Σταμ. Γλάρος · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 1:51 pm
Παρόμοια κεντρική ιδέα ντυμένη αλλιώς...

Να βρεθεί η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ αν ισχύει ότι:

$f \left( \frac{\pi}{2} \right) =1$

$f'(x) = \cos x + \left ( \bigintsss \limits_{0}^{\pi/2} \left | f(t) \right | \, \mathrm{d}t \right ) \sin x$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Θέτω $\bigintsss \limits_{0}^{\pi/2} \left | f(t) \right | \, \mathrm{d}t = c$ .
Είναι $f'(x)=cosx + c \cdot sinx$ $\Leftrightarrow$ $f'(x)= \left (sinx - c \cdot cosx \right )'$ .
Από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ, έχουμε $f(x)= sinx - c \cdot cosx +c_1$ .
Από $f \left( \frac{\pi}{2} \right) =1$ προκύπτει c_1 = 0

. Άρα $f(x)= sinx - c \cdot cosx$ .
Αποσύρω την συνέχεια διότι η διάκριση των περιπτώσεων δεν καλύπτει το πρόσημο της συνάρτησης
για κάθε

στο $[0,\frac{\pi}{2} ]$ .
Ευχαριστώ πολύ τον κ. Μιχάλη Λάμπρου για την υπόδειξη.
Εξ' άλλου ο Βασίλης διαπραγματεύθηκε πολύ όμορφα το θέμα παρακάτω...

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 20, 2018 1:51 pm
Παρόμοια κεντρική ιδέα ντυμένη αλλιώς...

Να βρεθεί η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ αν ισχύει ότι:

$f \left( \frac{\pi}{2} \right) =1$

$f'(x) = \cos x + \left ( \bigintsss \limits_{0}^{\pi/2} \left | f(t) \right | \, \mathrm{d}t \right ) \sin x$

...κατ αρχάς πιστεύω ότι είναι ένα πολύ απαιτητικό θέμα και είναι λάθος ο φάκελλος που τοποθετήθηκε...

...και λίγο πριν τις εξετάσεις..... πάμε να δούμε που θα φθάσουμε....

Κατ’ αρχάς αν $(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{|f(t)|dt})=\alpha \ge 0$ γιατί $|f(x)|\ge 0,\,\,x\in [0,\,\frac{\pi }{2}]$ έχουμε ότι

${f}'(x)=\cos x+\alpha \sin x$ επομένως $f(x)=\sin x-\alpha \cos x+c,\,\,x\in R$ και επειδή $f \left( \frac{\pi}{2} \right) =1$

είναι c=0

επομένως $f(x)=\sin x-\alpha \cos x,\,\,x\in R$

Τώρα $f(0)=-\alpha \le 0$ και $f(\frac{\pi }{2})=1>0$ και έχουμε τις περιπτώσεις

Αν $\alpha =0$ τότε $f(x)=\sin x,\,\,x\in R$ που απορρίπτεται γιατί $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{sintdt}=1\ne \alpha$

Αν $\alpha >0$ τότε $f(0)=-\alpha <0$ και επειδή $f(\frac{\pi }{2})=1>0$ σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει

${{x}_{0}}\in (0,\,\,\frac{\pi }{2})$ ώστε $f({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow \sin {{x}_{0}}=a\cos {{x}_{0}}$ και θα είναι η μοναδική ρίζα στο

$(0,\,\,\frac{\pi }{2})$ γιατί αν υπάρχει και άλλη ${{x}_{1}}\in (0,\,\,\frac{\pi }{2})$ με $f({{x}_{1}})=0$ σύμφωνα με το Rolle θα υπάρχει

${{x}_{2}}\in (0,\,\,\frac{\pi }{2})$ που ${f}'({{x}_{2}})=0\Leftrightarrow \cos {{x}_{2}}+\alpha \sin {{x}_{2}}=0\Leftrightarrow \cos {{x}_{2}}=-\alpha \sin {{x}_{2}}\Leftrightarrow \cot {{x}_{2}}=-a<0$ άτοπο αφού ${{x}_{2}}\in (0,\,\,\frac{\pi }{2})$

(...Για την μοναδικότητα ποιο εύκολα από την αρχική σκέψη… αφού ${f}'(x)=\cos x+\alpha \sin x>0$ επειδή

$x\in [0,\frac{\pi }{2}]$ και $\alpha >0$ και ευκολότερα το πρόσημο…)

επομένως η συνεχής

θα έχει σταθερό πρόσημο στα $[0,\,{{x}_{0}}),\,({{x}_{2}}\,\,\frac{\pi }{2}]$

και αφού $f(0)=-\alpha <0$ , $f(\frac{\pi }{2})=1>0$ θα είναι $f(x)<0,\,\,x\in [0,\,{{x}_{0}}),\,f(x)>0,\,\,x\in ({{x}_{2}}\,\,\frac{\pi }{2}]$

και από $\displaystyle \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{|f(t)|dt}=\alpha >0\Leftrightarrow -\int\limits_{0}^{{{x}_{0}}}{f(t)dt+}\int\limits_{{{x}_{0}}}^{\frac{\pi }{2}}{f(t)dt=\alpha }$

$\displaystyle \Leftrightarrow -\int\limits_{0}^{{{x}_{0}}}{(sinx-\alpha \cos x)dt+}\int\limits_{{{x}_{0}}}^{\frac{\pi }{2}}{(sinx-\alpha \cos x)dt=\alpha }\Leftrightarrow$

$\displaystyle \int\limits_{0}^{{{x}_{0}}}{(-sinx+\alpha \cos x)dt+}\int\limits_{{{x}_{0}}}^{\frac{\pi }{2}}{(sinx-\alpha \cos x)dt=\alpha }\Leftrightarrow$

$\displaystyle \left[ \cos x+a\sin x \right]_{0}^{{{x}_{0}}}+\left[ -\cos x-a\sin x \right]_{0}^{{{x}_{0}}}=a\Leftrightarrow$

$\displaystyle \left[ \cos x+a\sin x \right]_{0}^{{{x}_{0}}}+\left[ -\cos x-a\sin x \right]_{{{x}_{0}}}^{\frac{\pi }{2}}=a\Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{matrix} & \left[ (\cos {{x}_{0}}+a\sin {{x}_{0}})-(cos0+a\sin 0) \right]- \\ & -\left[ (\cos \frac{\pi }{2}+a\sin \frac{\pi }{2})-(cos{{x}_{0}}+a\sin {{x}_{0}}) \right]=a\Leftrightarrow \\ \end{matrix}$

$\displaystyle \cos {{x}_{0}}+a\sin {{x}_{0}}-1-a+\cos {{x}_{0}}+a\sin {{x}_{0}}=a\Leftrightarrow \cos {{x}_{0}}+a\sin {{x}_{0}}=a+\frac{1}{2}$

και επειδή ισχύει και $\sin {{x}_{0}}-a\cos {{x}_{0}}=0$ θα έχουμε και ότι

$\displaystyle {{(\cos {{x}_{0}}+a\sin {{x}_{0}})}^{2}}={{(a+\frac{1}{2})}^{2}}$ και ${{(\sin {{x}_{0}}-a\cos {{x}_{0}})}^{2}}=0$ οπότε

$\displaystyle {{\cos }^{2}}{{x}_{0}}+{{a}^{2}}{{\sin }^{2}}{{x}_{0}}+2a\cos {{x}_{0}}sin{{x}_{0}}={{(a+\frac{1}{2})}^{2}}$ και

$\displaystyle {{\alpha }^{2}}{{\cos }^{2}}{{x}_{0}}+{{\sin }^{2}}{{x}_{0}}-2a\cos {{x}_{0}}sin{{x}_{0}}=0$ με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι

$\displaystyle {{\alpha }^{2}}+1={{\alpha }^{2}}+\alpha +\frac{1}{4}\Leftrightarrow \alpha =\frac{3}{4}$ επομένως τότε

$f(x)=\sin x-\frac{3}{4}\cos x,\,\,x\in R$

Εδώ πρέπει να γίνει και η επαλήθευση για το αν $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{|sinx-\frac{3}{4}cost|dt}=\frac{3}{4}$ ...

Και η επαλήθευση είναι $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{|sinx-\frac{3}{4}cosx|dt}$ με $\sin {{x}_{0}}-\frac{3}{4}\cos {{x}_{0}}=0\Leftrightarrow \tan {{x}_{0}}=\frac{3}{4}$ όπως προηγούμενα $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{|sinx-\frac{3}{4}cosx|dt}=-\int\limits_{0}^{{{x}_{0}}}{(sinx-\frac{3}{4}\cos x)dt+}\int\limits_{{{x}_{0}}}^{\frac{\pi }{2}}{(sinx-\frac{3}{4}\cos x)dt}=$
$\displaystyle \left[ \cos x+\frac{3}{4}\sin x \right]_{0}^{{{x}_{0}}}+\left[ -\cos x-\frac{3}{4}\sin x \right]_{{{x}_{0}}}^{\frac{\pi }{2}}=2(\cos {{x}_{0}}+\frac{3}{4}\sin {{x}_{0}})-\frac{7}{4}$
$\displaystyle =2(\cos {{x}_{0}}+\tan {{x}_{0}}\sin {{x}_{0}})-\frac{7}{4}=\frac{2}{\cos {{x}_{0}}}-\frac{7}{4}$ και επειδή $\displaystyle \frac{1}{{{\cos }^{2}}{{x}_{0}}}=1+{{\tan }^{2}}{{x}_{0}}=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$

προκύπτει ότι $\displaystyle \cos {{x}_{0}}=\frac{4}{5}$ έτσι $I=\frac{2}{\cos {{x}_{0}}}-\frac{7}{4}=\frac{10}{4}-\frac{7}{4}=\frac{3}{4}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση