Εύρεση συνάρτησης

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Εύρεση συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μάιος 20, 2018 1:51 pm

Παρόμοια κεντρική ιδέα ντυμένη αλλιώς...

Να βρεθεί η συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} αν ισχύει ότι:
  1. f \left( \frac{\pi}{2} \right) =1
  2. f'(x) = \cos x + \left ( \bigintsss \limits_{0}^{\pi/2} \left | f(t) \right | \, \mathrm{d}t \right )  \sin x


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 346
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Εύρεση συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Μάιος 22, 2018 12:35 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μάιος 20, 2018 1:51 pm
Παρόμοια κεντρική ιδέα ντυμένη αλλιώς...

Να βρεθεί η συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} αν ισχύει ότι:
  1. f \left( \frac{\pi}{2} \right) =1
  2. f'(x) = \cos x + \left ( \bigintsss \limits_{0}^{\pi/2} \left | f(t) \right | \, \mathrm{d}t \right )  \sin x
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Θέτω \bigintsss \limits_{0}^{\pi/2} \left | f(t) \right | \, \mathrm{d}t = c .
Είναι f'(x)=cosx + c \cdot sinx \Leftrightarrow f'(x)= \left (sinx - c \cdot cosx \right )' .
Από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ, έχουμε f(x)= sinx - c \cdot cosx  +c_1 .
Από f \left( \frac{\pi}{2} \right) =1 προκύπτει c_1 = 0. Άρα f(x)= sinx - c \cdot cosx .
Αποσύρω την συνέχεια διότι η διάκριση των περιπτώσεων δεν καλύπτει το πρόσημο της συνάρτησης
για κάθε x στο [0,\frac{\pi}{2} ] .
Ευχαριστώ πολύ τον κ. Μιχάλη Λάμπρου για την υπόδειξη.
Εξ' άλλου ο Βασίλης διαπραγματεύθηκε πολύ όμορφα το θέμα παρακάτω...

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
τελευταία επεξεργασία από Σταμ. Γλάρος σε Τετ Μάιος 23, 2018 2:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1538
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Εύρεση συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Μάιος 22, 2018 1:46 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μάιος 20, 2018 1:51 pm
Παρόμοια κεντρική ιδέα ντυμένη αλλιώς...

Να βρεθεί η συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} αν ισχύει ότι:
  1. f \left( \frac{\pi}{2} \right) =1
  2. f'(x) = \cos x + \left ( \bigintsss \limits_{0}^{\pi/2} \left | f(t) \right | \, \mathrm{d}t \right )  \sin x
...κατ αρχάς πιστεύω ότι είναι ένα πολύ απαιτητικό θέμα και είναι λάθος ο φάκελλος που τοποθετήθηκε...

...και λίγο πριν τις εξετάσεις..... πάμε να δούμε που θα φθάσουμε....

Κατ’ αρχάς αν (\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{|f(t)|dt})=\alpha \ge 0 γιατί |f(x)|\ge 0,\,\,x\in [0,\,\frac{\pi }{2}] έχουμε ότι

{f}'(x)=\cos x+\alpha \sin x επομένως f(x)=\sin x-\alpha \cos x+c,\,\,x\in R και επειδή f \left( \frac{\pi}{2} \right) =1

είναι c=0 επομένως f(x)=\sin x-\alpha \cos x,\,\,x\in R

Τώρα f(0)=-\alpha \le 0 και f(\frac{\pi }{2})=1>0και έχουμε τις περιπτώσεις

Αν \alpha =0 τότε f(x)=\sin x,\,\,x\in R που απορρίπτεται γιατί \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{sintdt}=1\ne \alpha

Αν \alpha >0 τότε f(0)=-\alpha <0 και επειδή f(\frac{\pi }{2})=1>0 σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει

{{x}_{0}}\in (0,\,\,\frac{\pi }{2}) ώστε f({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow \sin {{x}_{0}}=a\cos {{x}_{0}} και θα είναι η μοναδική ρίζα στο

(0,\,\,\frac{\pi }{2}) γιατί αν υπάρχει και άλλη {{x}_{1}}\in (0,\,\,\frac{\pi }{2}) με f({{x}_{1}})=0 σύμφωνα με το Rolle θα υπάρχει

{{x}_{2}}\in (0,\,\,\frac{\pi }{2}) που {f}'({{x}_{2}})=0\Leftrightarrow \cos {{x}_{2}}+\alpha \sin {{x}_{2}}=0\Leftrightarrow \cos {{x}_{2}}=-\alpha \sin {{x}_{2}}\Leftrightarrow \cot {{x}_{2}}=-a<0 άτοπο αφού {{x}_{2}}\in (0,\,\,\frac{\pi }{2})

(...Για την μοναδικότητα ποιο εύκολα από την αρχική σκέψη… αφού {f}'(x)=\cos x+\alpha \sin x>0επειδή

x\in [0,\frac{\pi }{2}] και \alpha >0 και ευκολότερα το πρόσημο…)

επομένως η συνεχής f θα έχει σταθερό πρόσημο στα [0,\,{{x}_{0}}),\,({{x}_{2}}\,\,\frac{\pi }{2}]

και αφού f(0)=-\alpha <0,f(\frac{\pi }{2})=1>0 θα είναι f(x)<0,\,\,x\in [0,\,{{x}_{0}}),\,f(x)>0,\,\,x\in ({{x}_{2}}\,\,\frac{\pi }{2}]

και από \displaystyle \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{|f(t)|dt}=\alpha >0\Leftrightarrow -\int\limits_{0}^{{{x}_{0}}}{f(t)dt+}\int\limits_{{{x}_{0}}}^{\frac{\pi }{2}}{f(t)dt=\alpha }

\displaystyle \Leftrightarrow -\int\limits_{0}^{{{x}_{0}}}{(sinx-\alpha \cos x)dt+}\int\limits_{{{x}_{0}}}^{\frac{\pi }{2}}{(sinx-\alpha \cos x)dt=\alpha }\Leftrightarrow

\displaystyle \int\limits_{0}^{{{x}_{0}}}{(-sinx+\alpha \cos x)dt+}\int\limits_{{{x}_{0}}}^{\frac{\pi }{2}}{(sinx-\alpha \cos x)dt=\alpha }\Leftrightarrow

\displaystyle \left[ \cos x+a\sin x \right]_{0}^{{{x}_{0}}}+\left[ -\cos x-a\sin x \right]_{0}^{{{x}_{0}}}=a\Leftrightarrow

\displaystyle \left[ \cos x+a\sin x \right]_{0}^{{{x}_{0}}}+\left[ -\cos x-a\sin x \right]_{{{x}_{0}}}^{\frac{\pi }{2}}=a\Leftrightarrow

\displaystyle \begin{matrix} 
  & \left[ (\cos {{x}_{0}}+a\sin {{x}_{0}})-(cos0+a\sin 0) \right]- \\  
 & -\left[ (\cos \frac{\pi }{2}+a\sin \frac{\pi }{2})-(cos{{x}_{0}}+a\sin {{x}_{0}}) \right]=a\Leftrightarrow  \\  
\end{matrix}

\displaystyle \cos {{x}_{0}}+a\sin {{x}_{0}}-1-a+\cos {{x}_{0}}+a\sin {{x}_{0}}=a\Leftrightarrow \cos {{x}_{0}}+a\sin {{x}_{0}}=a+\frac{1}{2}

και επειδή ισχύει και \sin {{x}_{0}}-a\cos {{x}_{0}}=0 θα έχουμε και ότι

\displaystyle {{(\cos {{x}_{0}}+a\sin {{x}_{0}})}^{2}}={{(a+\frac{1}{2})}^{2}} και {{(\sin {{x}_{0}}-a\cos {{x}_{0}})}^{2}}=0 οπότε

\displaystyle {{\cos }^{2}}{{x}_{0}}+{{a}^{2}}{{\sin }^{2}}{{x}_{0}}+2a\cos {{x}_{0}}sin{{x}_{0}}={{(a+\frac{1}{2})}^{2}} και

\displaystyle {{\alpha }^{2}}{{\cos }^{2}}{{x}_{0}}+{{\sin }^{2}}{{x}_{0}}-2a\cos {{x}_{0}}sin{{x}_{0}}=0 με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι

\displaystyle {{\alpha }^{2}}+1={{\alpha }^{2}}+\alpha +\frac{1}{4}\Leftrightarrow \alpha =\frac{3}{4} επομένως τότε

f(x)=\sin x-\frac{3}{4}\cos x,\,\,x\in R

Εδώ πρέπει να γίνει και η επαλήθευση για το αν \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{|sinx-\frac{3}{4}cost|dt}=\frac{3}{4}...

Και η επαλήθευση είναι I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{|sinx-\frac{3}{4}cosx|dt} με \sin {{x}_{0}}-\frac{3}{4}\cos {{x}_{0}}=0\Leftrightarrow \tan {{x}_{0}}=\frac{3}{4} όπως προηγούμενα I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{|sinx-\frac{3}{4}cosx|dt}=-\int\limits_{0}^{{{x}_{0}}}{(sinx-\frac{3}{4}\cos x)dt+}\int\limits_{{{x}_{0}}}^{\frac{\pi }{2}}{(sinx-\frac{3}{4}\cos x)dt}=
\displaystyle \left[ \cos x+\frac{3}{4}\sin x \right]_{0}^{{{x}_{0}}}+\left[ -\cos x-\frac{3}{4}\sin x \right]_{{{x}_{0}}}^{\frac{\pi }{2}}=2(\cos {{x}_{0}}+\frac{3}{4}\sin {{x}_{0}})-\frac{7}{4}
\displaystyle =2(\cos {{x}_{0}}+\tan {{x}_{0}}\sin {{x}_{0}})-\frac{7}{4}=\frac{2}{\cos {{x}_{0}}}-\frac{7}{4} και επειδή \displaystyle \frac{1}{{{\cos }^{2}}{{x}_{0}}}=1+{{\tan }^{2}}{{x}_{0}}=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}

προκύπτει ότι \displaystyle \cos {{x}_{0}}=\frac{4}{5} έτσι I=\frac{2}{\cos {{x}_{0}}}-\frac{7}{4}=\frac{10}{4}-\frac{7}{4}=\frac{3}{4}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες