Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μάιος 21, 2018 10:23 am

Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{16 \sqrt{2}}{15}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 346
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Δευ Μάιος 21, 2018 7:11 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Μάιος 21, 2018 10:23 am
Να δειχθεί ότι:

I=\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{16 \sqrt{2}}{15}}
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Θέτω u=\sqrt{4-x^2}. Είναι xdx = udu, οπότε I=\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}}dx =\int_{0}^{2} \sqrt{2-u}\cdot  udu .

Ξαναθέτω t=\sqrt{2-u} . Είναι du=-2t dt , οπότε I=\displaystyle{\int_{\sqrt{2}}^{0} t(2-t^2)(-2t)  dt = ... \frac{16 \sqrt{2}}{15}} .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12186
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μάιος 21, 2018 10:22 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Μάιος 21, 2018 10:23 am
Να δειχθεί ότι:

I=\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{16 \sqrt{2}}{15}}
Χάριν ποικιλίας και για όφελος των μαθητών, αλλιώς: Θέτουμε x=2\sin t οπότε

x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}}= x \sqrt{2-\sqrt{4\cos ^2t}} = x \sqrt{2-2\cos t} = x \sqrt{2-2(1-2\sin ^2 \frac { t}{2})}=

 = x \sqrt{4\sin ^2 \frac { t}{2}}= 2x\sin \frac { t}{2}= 4\sin t\sin \frac { t}{2} . Το ολοκλήρωμα γίνεται

I=\displaystyle{8\int_{0}^{\pi / 2}  \sin t\sin \frac { t}{2} \cos t \, \mathrm{d}t=  4\int_{0}^{\pi / 2}  \sin 2t\sin \frac { t}{2}  \mathrm{d}t

που είναι απλό (γνωστό/βασικό).

Edit: Διόρθωσα λογιστική μικροαπροσεξία.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Μάιος 23, 2018 10:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1842
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Μάιος 22, 2018 2:12 am

Ας δούμε την συνέχεια τότε.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12186
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 22, 2018 7:04 am

Christos.N έγραψε:
Τρί Μάιος 22, 2018 2:12 am
Ας δούμε την συνέχεια τότε.
.
Υπόδειξη: 2\sin a \sin b = \cos (a-b)-\cos (a+b)

Ας σημειώσω ότι πρόκειται για στάνταρ τεχνική που μπορεί κανείς να την
βρει σε όλα τα βιβλία με τεχνικές ολοκλήρωσης.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 22, 2018 11:45 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Μάιος 21, 2018 10:22 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Μάιος 21, 2018 10:23 am
Να δειχθεί ότι:

I=\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{16 \sqrt{2}}{15}}
Χάριν ποικιλίας και για όφελος των μαθητών, αλλιώς: Θέτουμε x=2\sin t οπότε

x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}}= x \sqrt{2-\sqrt{4\cos ^2t}} = x \sqrt{2-2\cos t} = x \sqrt{2-2(1-2\sin ^2 \frac { t}{2})}=

 = x \sqrt{4\sin ^2 \frac { t}{2}}= 2x\sin \frac { t}{2}= 2\sin t\sin \frac { t}{2} . Το ολοκλήρωμα γίνεται

I=\displaystyle{4\int_{0}^{\pi / 2}  \sin t\sin \frac { t}{2} \cos t \, \mathrm{d}t=  2\int_{0}^{\pi / 2}  \sin 2t\sin \frac { t}{2}  \mathrm{d}t

που είναι απλό (γνωστό/βασικό).
Γεια σας κ. Μιχάλη. Κάπου πρέπει να σας έχει ξεφύγει ένα δυάρι γιατί αυτό που βγάζετε δεν ταιριάζει αριθμητικά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12186
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μάιος 23, 2018 10:35 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Μάιος 22, 2018 11:45 am
Κάπου πρέπει να σας έχει ξεφύγει ένα δυάρι γιατί αυτό που βγάζετε δεν ταιριάζει αριθμητικά.
Τόλη, έχεις δίκιο. Το διόρθωσα.

Τώρα είδα το μήνυμά σου καθώς ταξιδεύω για το εξωτερικό (συνέδριο Ιστορίας των Μαθηματικών, στην Ουγγαρία).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες