mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 21, 2018 10:23 am**

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{16 \sqrt{2}}{15}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 21, 2018 7:11 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 21, 2018 10:23 am
Να δειχθεί ότι:

$I=\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{16 \sqrt{2}}{15}}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Θέτω $u=\sqrt{4-x^2}$ . Είναι xdx = udu

, οπότε $I=\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}}dx =\int_{0}^{2} \sqrt{2-u}\cdot udu$ .

Ξαναθέτω $t=\sqrt{2-u}$ . Είναι du=-2t dt

, οπότε $I=\displaystyle{\int_{\sqrt{2}}^{0} t(2-t^2)(-2t) dt = ... \frac{16 \sqrt{2}}{15}}$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 21, 2018 10:22 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 21, 2018 10:23 am
Να δειχθεί ότι:

$I=\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{16 \sqrt{2}}{15}}$

Χάριν ποικιλίας και για όφελος των μαθητών, αλλιώς: Θέτουμε $x=2\sin t$ οπότε

$x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}}= x \sqrt{2-\sqrt{4\cos ^2t}} = x \sqrt{2-2\cos t} = x \sqrt{2-2(1-2\sin ^2 \frac { t}{2})}=$

$= x \sqrt{4\sin ^2 \frac { t}{2}}= 2x\sin \frac { t}{2}= 4\sin t\sin \frac { t}{2}$ . Το ολοκλήρωμα γίνεται

$I=\displaystyle{8\int_{0}^{\pi / 2} \sin t\sin \frac { t}{2} \cos t \, \mathrm{d}t= 4\int_{0}^{\pi / 2} \sin 2t\sin \frac { t}{2} \mathrm{d}t$

που είναι απλό (γνωστό/βασικό).

Edit: Διόρθωσα λογιστική μικροαπροσεξία.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 22, 2018 2:12 am**

Ας δούμε την συνέχεια τότε.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 22, 2018 7:04 am**

Christos.N έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 22, 2018 2:12 am
Ας δούμε την συνέχεια τότε.

.
Υπόδειξη: $2\sin a \sin b = \cos (a-b)-\cos (a+b)$

Ας σημειώσω ότι πρόκειται για στάνταρ τεχνική που μπορεί κανείς να την
βρει σε όλα τα βιβλία με τεχνικές ολοκλήρωσης.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 22, 2018 11:45 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 21, 2018 10:22 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 21, 2018 10:23 am
Να δειχθεί ότι:

$I=\displaystyle{\int_{0}^{2} x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{16 \sqrt{2}}{15}}$
Χάριν ποικιλίας και για όφελος των μαθητών, αλλιώς: Θέτουμε $x=2\sin t$ οπότε

$x \sqrt{2-\sqrt{4-x^2}}= x \sqrt{2-\sqrt{4\cos ^2t}} = x \sqrt{2-2\cos t} = x \sqrt{2-2(1-2\sin ^2 \frac { t}{2})}=$

$= x \sqrt{4\sin ^2 \frac { t}{2}}= 2x\sin \frac { t}{2}= 2\sin t\sin \frac { t}{2}$ . Το ολοκλήρωμα γίνεται

$I=\displaystyle{4\int_{0}^{\pi / 2} \sin t\sin \frac { t}{2} \cos t \, \mathrm{d}t= 2\int_{0}^{\pi / 2} \sin 2t\sin \frac { t}{2} \mathrm{d}t$

που είναι απλό (γνωστό/βασικό).

Γεια σας κ. Μιχάλη. Κάπου πρέπει να σας έχει ξεφύγει ένα δυάρι γιατί αυτό που βγάζετε δεν ταιριάζει αριθμητικά.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 23, 2018 10:35 am**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 22, 2018 11:45 am
Κάπου πρέπει να σας έχει ξεφύγει ένα δυάρι γιατί αυτό που βγάζετε δεν ταιριάζει αριθμητικά.

Τόλη, έχεις δίκιο. Το διόρθωσα.

Τώρα είδα το μήνυμά σου καθώς ταξιδεύω για το εξωτερικό (συνέδριο Ιστορίας των Μαθηματικών, στην Ουγγαρία).

mathematica.gr

Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα