Ολοκλήρωμα συνάρτησης

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση $f:[1, 4] \rightarrow \mathbb{R}$ με

$\displaystyle{f(x) = \frac{f \left( 2\sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x}} + \frac{\ln x}{x}}$
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\mathcal{J} = \bigintsss_3^4 f(x) \, \mathrm{d}x$ .

#2

Θεωρώντας ότι η συνάρτηση

είναι συνεχής στο [1,4]

, ολοκληρώνουμε τη δοσμένη σχέση στο [1,4]

έχουμε:
$\displaystyle{\displaystyle{\int_1^4f(x)dx = \int_1^4\frac{f \left( 2\sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x}}dx + \int_1^4\frac{\ln x}{x}dx \Leftrightarrow}}$

$\displaystyle{\displaystyle{\Leftrightarrow \int_1^4f(x)dx = \int_1^3f(u)du +\left[ \frac{ln^2x}{2} \right]_1^4 \Leftrightarrow}}$

$\displaystyle{\displaystyle{\Leftrightarrow \int_1^4f(x)dx - \int_1^3f(u)du =\frac{ln^24}{2} \Leftrightarrow}}$

$\displaystyle{\displaystyle{\Leftrightarrow \int_3^4f(x)dx =2ln^22 ,}}$

αφού για το $\displaystyle{ \int_1^4\frac{f \left( 2\sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x}}dx}$ έχουμε θέσει $u=2\sqrt{x}-1$ ,
οπότε $\displaystyle{du=\frac{1}{\sqrt{x}}dx}$ .

Ολοκλήρωμα συνάρτησης

Ολοκλήρωμα συνάρτησης

Re: Ολοκλήρωμα συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση