Ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4119
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Αύγ 07, 2018 11:01 am

Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε

\displaystyle{f(x) f(-x) = 9 \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8301
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Αύγ 07, 2018 12:23 pm

Έχουμε

\displaystyle  I = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)} = \int_{3}^{-3} \frac{-\mathrm{d}t}{3+f(-t)} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(-x)} =  \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+\frac{9}{f(x)}} = \frac{1}{3}  \int_{-3}^{3} \frac{f(x)}{3+f(x)} \, \mathrm{d}x

Άρα

\displaystyle  6I = \int_{-3}^{3} \, \mathrm{d}x = 6

οπότε I = 1.

Τα πιο πάνω βέβαια ισχύουν μόνο αν το ολοκλήρωμα υπάρχει. Π.χ. αν f(x)=-3 για κάθε x \in \mathbb{R} τότε το ολοκλήρωμα δεν υπάρχει.

Θα μπορούσε π.χ. η εκφώνηση να δίνει f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^+


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1520
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Αύγ 07, 2018 2:21 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Αύγ 07, 2018 11:01 am
Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε

\displaystyle{f(x) f(-x) = 9 \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)}}
ΛΥΣΗ

...με δεδομένο βέβαια ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής.... έχουμε

Αν u=-xτότε du=-dx,\,\,x=-3\to u=3,\,\,x=3\to u=-3 και το ολοκλήρωμα γίνεται

\mathcal{J}=-\int\limits_{3}^{-3}{\frac{\text{1}}{3+f(-u)}du} και λόγω

f(x)f(-x)=9\overset{f(x)\ne 0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,f(-x)=\frac{9}{f(x)}\ \text{x}\in \mathbb{R} γίνεται

\mathcal{J}=\int\limits_{-3}^{3}{\frac{\text{1}}{3+\frac{9}{f(u)}}du}=\frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}{\frac{f(u)}{f(u)+3}du}=\frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}{\frac{f(u)+3-3}{f(u)+3}du}

=\frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}{\left( 1-\frac{3}{f(u)+3} \right)du}=\frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}{du}-\int\limits_{-3}^{3}{\left( \frac{1}{f(u)+3} \right)du}=2-J και ισοδύναμα 2J=2\Leftrightarrow J=1

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11787
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Αύγ 07, 2018 3:15 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Αύγ 07, 2018 11:01 am
Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε

\displaystyle{f(x) f(-x) = 9 \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)}}
Με αλλαγή μεταβλητής y=-x έχουμε

\displaystyle{ I =  \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)}} = +  \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}y}{3+f(-y)}}  = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}y}{3+ \frac {9}{f(y)}}} }

\displaystyle{  =  \frac {1}{3}  \int_{-3}^{3} \frac{f(y)+3-3}{f(y) +3}} \mathrm{d}y =  \frac {1}{3}  \int_{-3}^{3} 1} \mathrm{d}y-I= 2-I}

Άρα I=1.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4119
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Αύγ 07, 2018 5:08 pm

Bρήκα την άσκηση στο Internet και δεν είχε τίποτα παραπάνω από αυτά που έγραψα. Ακόμα και τα πεδία ορισμού εγώ τα συμπλήρωσα. Αλλά ο Δημήτρης και ο Βασίλης έχουν δίκιο. Οπότε για το Λύκειο έχουμε:

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Αύγ 07, 2018 11:01 am
Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ συνεχής και τέτοια ώστε

\displaystyle{f(x) f(-x) = 9 \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11787
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Αύγ 07, 2018 5:33 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Αύγ 07, 2018 3:15 pm
Με αλλαγή μεταβλητής y=-x έχουμε

\displaystyle{ I =  \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)}} = +  \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}y}{3+f(-y)}}  = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}y}{3+ \frac {9}{f(y)}}} }

\displaystyle{  =  \frac {1}{3}  \int_{-3}^{3} \frac{f(y)+3-3}{f(y) +3}} \mathrm{d}y =  \frac {1}{3}  \int_{-3}^{3} 1} \mathrm{d}y-I= 2-I}

Άρα I=1.
Τώρα βλέπω ότι απάντησα σε ερώτηση που ήδη είχει απαντηθεί, χωρίς να προσθέσω τίποτα ουσιαστικό.

Αυτό γίνεται γιατί καμιά φορά ο Browser μου κατεβάζει μόνο ένα μέρος της σελίδας που διαβάζω. Αυτό έγινε και τώρα: Έβλεπα μόνο την ερώτηση, χωρίς τις απαντήσεις :oops: Έτσι απάντησα...

Απολογούμαι για την επανάληψη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης