Ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x) f(-x) = 9 \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)}}$

#2

Έχουμε

$\displaystyle I = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)} = \int_{3}^{-3} \frac{-\mathrm{d}t}{3+f(-t)} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(-x)} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+\frac{9}{f(x)}} = \frac{1}{3} \int_{-3}^{3} \frac{f(x)}{3+f(x)} \, \mathrm{d}x$

Άρα

$\displaystyle 6I = \int_{-3}^{3} \, \mathrm{d}x = 6$

οπότε I = 1

.

Τα πιο πάνω βέβαια ισχύουν μόνο αν το ολοκλήρωμα υπάρχει. Π.χ. αν f(x)=-3

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ τότε το ολοκλήρωμα δεν υπάρχει.

Θα μπορούσε π.χ. η εκφώνηση να δίνει $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^+$

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 07, 2018 11:01 am
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x) f(-x) = 9 \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)}}$

ΛΥΣΗ

...με δεδομένο βέβαια ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής.... έχουμε

Αν u=-x

τότε $du=-dx,\,\,x=-3\to u=3,\,\,x=3\to u=-3$ και το ολοκλήρωμα γίνεται

$\mathcal{J}=-\int\limits_{3}^{-3}{\frac{\text{1}}{3+f(-u)}du}$ και λόγω

$f(x)f(-x)=9\overset{f(x)\ne 0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,f(-x)=\frac{9}{f(x)}\ \text{x}\in \mathbb{R}$ γίνεται

$\mathcal{J}=\int\limits_{-3}^{3}{\frac{\text{1}}{3+\frac{9}{f(u)}}du}=\frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}{\frac{f(u)}{f(u)+3}du}=\frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}{\frac{f(u)+3-3}{f(u)+3}du}$

$=\frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}{\left( 1-\frac{3}{f(u)+3} \right)du}=\frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}{du}-\int\limits_{-3}^{3}{\left( \frac{1}{f(u)+3} \right)du}=2-J$ και ισοδύναμα $2J=2\Leftrightarrow J=1$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 07, 2018 11:01 am
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x) f(-x) = 9 \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)}}$

Με αλλαγή μεταβλητής y=-x

έχουμε

$\displaystyle{ I = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)}} = + \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}y}{3+f(-y)}} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}y}{3+ \frac {9}{f(y)}}} }$

$\displaystyle{ = \frac {1}{3} \int_{-3}^{3} \frac{f(y)+3-3}{f(y) +3}} \mathrm{d}y = \frac {1}{3} \int_{-3}^{3} 1} \mathrm{d}y-I= 2-I}$

Άρα I=1

.

Tolaso J Kos · #5

Bρήκα την άσκηση στο Internet και δεν είχε τίποτα παραπάνω από αυτά που έγραψα. Ακόμα και τα πεδία ορισμού εγώ τα συμπλήρωσα. Αλλά ο Δημήτρης και ο Βασίλης έχουν δίκιο. Οπότε για το Λύκειο έχουμε:

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 07, 2018 11:01 am
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ συνεχής και τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x) f(-x) = 9 \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)}}$

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 07, 2018 3:15 pm
Με αλλαγή μεταβλητής έχουμε

$\displaystyle{ I = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)}} = + \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}y}{3+f(-y)}} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}y}{3+ \frac {9}{f(y)}}} }$

$\displaystyle{ = \frac {1}{3} \int_{-3}^{3} \frac{f(y)+3-3}{f(y) +3}} \mathrm{d}y = \frac {1}{3} \int_{-3}^{3} 1} \mathrm{d}y-I= 2-I}$

Άρα .

Τώρα βλέπω ότι απάντησα σε ερώτηση που ήδη είχει απαντηθεί, χωρίς να προσθέσω τίποτα ουσιαστικό.

Αυτό γίνεται γιατί καμιά φορά ο Browser μου κατεβάζει μόνο ένα μέρος της σελίδας που διαβάζω. Αυτό έγινε και τώρα: Έβλεπα μόνο την ερώτηση, χωρίς τις απαντήσεις

Έτσι απάντησα...

Απολογούμαι για την επανάληψη.

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση