Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$

με συνεχή πρώτη παράγωγο.

Για $x\in [0,1]$

να δείξετε ότι

$\left | f(x) \right |\leq \int_{0}^{1}\left | f(t) \right |dt+\int_{0}^{1}\left | f'(t) \right |dt$

AlexandrosG · #2

Καλησπέρα.

Υπάρχει $0\leq a \leq 1$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\int_0^1 |f(t)| dt \geq |f(a)|}$ . Τότε

$\displaystyle{\int_0^1 |f(t)| dt+\int_0^1 |f'(t)| dt \geq |f(a)|+\int_a^x |f'(t)| dt \geq |f(a)|+\left|\int_a^x f'(t) dt\right|=|f(a)|+|f(x)-f(a)|\geq |f(x)|}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

AlexandrosG έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 27, 2018 10:52 pm
Καλησπέρα.

Υπάρχει $0\leq a \leq 1$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\int_0^1 |f(t)| dt \geq |f(a)|}$ . Τότε

$\displaystyle{\int_0^1 |f(t)| dt+\int_0^1 |f'(t)| dt \geq |f(a)|+\int_a^x |f'(t)| dt \geq |f(a)|+\left|\int_a^x f'(t) dt\right|=|f(a)|+|f(x)-f(a)|\geq |f(x)|}$ .

Ετσι όπως είναι η απόδειξη δουλεύει για $x\geq a$ .

Βέβαια για $x\leq a$ δουλεύουμε ανάλογα.

Επίσης επειδή είμαστε σε μαθητικό φάκελλο καλό θα ήταν να εξηγήσουμε γιατί υπάρχει το

.
(είναι όλα τα λεφτά της απόδειξης)

Θα μπορούσαμε να πούμε ότι το

είναι ένα σημείο που η $\left | f \right |$ παίρνει
ελάχιστη τιμή.(λόγω συνέχειας υπάρχει)

AlexandrosG · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 27, 2018 11:06 pm
Επίσης επειδή είμαστε σε μαθητικό φάκελλο καλό θα ήταν να εξηγήσουμε γιατί υπάρχει το .
(είναι όλα τα λεφτά της απόδειξης)

Θα μπορούσαμε να πούμε ότι το είναι ένα σημείο που η $\left | f \right |$ παίρνει
ελάχιστη τιμή.(λόγω συνέχειας υπάρχει)

Αλλιώς: Αν δεν υπάρχει τέτοιο

τότε $\displaystyle{\int_0^1 |f(t)| dt <|f(a)|}$ για κάθε $0\leq a \leq 1$ . Ολοκληρώνοντας την ανισότητα παίρνουμε $\displaystyle{\int_0^1 |f(t)| dt <\int_0^1 |f(a)| da}$ που είναι άτοπο.

Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα

Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα με συνάρτηση και ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση