Από Ολοκληρώματα ρίζες

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $0< a\leq \pi$

Η $f:[0,a]\rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχής συνάρτηση ώστε

$\int_{0}^{a}f(x)\sin xdx=0=\int_{0}^{a}f(x)\cos xdx$

Να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x)=0

έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (0,a)

#2

εστω $\displaystyle{ a<\pi /4}$ στο $\displaystyle{(0,a)}$ θα ισχύει $\displaystyle{cosx>sinx}$ [1]

Αν η $\displaystyle{f}$ είχε μια ρίζα μόνον $\displaystyle{r}$ στο $\displaystyle{(0,a)}$ τοτε ενα από τα 4 παρακατω μπορεί να συμβαίνει
$\displaystyle{f(x)>0 , x\in (0,a)}$ [a]
$\displaystyle{f(x)<0 , x\in (0,a)}$ [β]
$\displaystyle{f(x)>0 , x\in (0,r)}$ kαι $\displaystyle{f(x)<0 , x\in (r,a)}$ [c]
$\displaystyle{f(x)<0 , x\in (0,r)}$ kαι $\displaystyle{f(x)>0 , x\in (r,a)}$ [d]

άρα

$\displaystyle{f(x)cosx>f(x)sinx , x\in (0,a)}$ ολοκληρώνοντας καταλήγουμε $\displaystyle{0>0}$ άτοπο

ομοίως και στην περίπτωση[β]

$\displaystyle{f(x)cosx>f(x)sinx , f(x)cosx>-f(x)sinx}$ ολοκληρώνοντας από $\displaystyle{0}$ ως $\displaystyle{r}$ και απο $\displaystyle{r}$ ως $\displaystyle{a}$ τότε αν προσθέσουμε κατα μέλη προκύπτει $\displaystyle{0>0=\int_{0}^{a}{f(x)(sinx-cosx)dx}}$

ομοίως και στην περίπτωση [d]

ανάλογα αν $\displaystyle{\pi /4<a<\pi /2}$
και ομοίως όταν $\displaystyle{\pi /2<a<\pi }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

R BORIS έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 26, 2018 6:40 pm
εστω $\displaystyle{ a<\pi /4}$ στο $\displaystyle{(0,a)}$ θα ισχύει $\displaystyle{cosx>sinx}$ [1]

Αν η $\displaystyle{f}$ είχε μια ρίζα μόνον $\displaystyle{r}$ στο $\displaystyle{(0,a)}$ τοτε ενα από τα 4 παρακατω μπορεί να συμβαίνει
$\displaystyle{f(x)>0 , x\in (0,a)}$ [a]
$\displaystyle{f(x)<0 , x\in (0,a)}$ [β]
$\displaystyle{f(x)>0 , x\in (0,r)}$ kαι $\displaystyle{f(x)<0 , x\in (r,a)}$ [c]
$\displaystyle{f(x)<0 , x\in (0,r)}$ kαι $\displaystyle{f(x)>0 , x\in (r,a)}$ [d]

άρα

$\displaystyle{f(x)cosx>f(x)sinx , x\in (0,a)}$ ολοκληρώνοντας καταλήγουμε $\displaystyle{0>0}$ άτοπο

ομοίως και στην περίπτωση[β]

$\displaystyle{f(x)cosx>f(x)sinx , f(x)cosx>-f(x)sinx}$ ολοκληρώνοντας από $\displaystyle{0}$ ως $\displaystyle{r}$ και απο $\displaystyle{r}$ ως $\displaystyle{a}$ τότε αν προσθέσουμε κατα μέλη προκύπτει $\displaystyle{0>0=\int_{0}^{a}{f(x)(sinx-cosx)dx}}$

ομοίως και στην περίπτωση [d]

ανάλογα αν $\displaystyle{\pi /4<a<\pi /2}$ όπου $\displaystyle{sinx>cosx>0}$
και ομοίως όταν $\displaystyle{\pi /2<a<\pi }$

Δεν βλέπω γιατί

ανάλογα αν $\displaystyle{\pi /4<a<\pi /2}$ όπου $\displaystyle{sinx>cosx>0}$
και ομοίως όταν $\displaystyle{\pi /2<a<\pi }$

#4

Ναι έχεις δίκιο Σταυρο απλα παρέλειψε το

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Επαναφορά για τις άλλες περιπτώσεις.
Η άσκηση λύνεται και χωρίς να πάρουμε περιπτώσεις για το

.

dement · #6

Υπάρχει κατάλληλο x_0

τέτοιο ώστε το $\sin (x + x_0)$ να διατηρεί πρόσημο στο [0,a]

. Αφού ισχύει $\displaystyle \int_0^a f(x) \sin (x+x_0) \mathrm{d} x = 0$ , η

αλλάζει πρόσημο στο (0,a)

(αλλιώς το ολοκλήρωμα θα ήταν μη μηδενικό ή η

μηδενική).

Έστω ότι η

αλλάζει πρόσημο στο $r \in (0,a)$ . Πάλι μπορούμε να διαλέξουμε x_0

έτσι ώστε $\sin (r + x_0) = 0$ , οπότε η $\sin (x + x_0)$ διατηρεί πρόσημο στο (0,r)

, αλλάζοντάς το στο (r,a)

(αφού $a \leqslant \pi$ ). Το γεγονός ότι πάλι $\displaystyle \int_0^a f(x) \sin (x+x_0) \mathrm{d} x = 0$ μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η συνεχής

δεν μπορεί να διατηρεί πρόσημο και στα δύο διαστήματα (0,r), (r,a)

(γιατί το γινόμενο θα διατηρούσε πρόσημο σε όλο το $(0,a) - \{ r \}$ ) και έτσι έπεται η ύπαρξη ακόμα μίας ρίζας στο (0,a)

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Γράφω στην ουσία την λύση του Δημήτρη πιο αναλυτικά.
Επειδή $\sin x>0$ στο (0,a)

και

$\displaystyle \int_0^a f(x) \sin x \mathrm{d} x = 0$

η

αλλάζει πρόσημο σε ένα τουλάχιστον σημείο του (0,a)

ή η

είναι μηδενική.
Στην δεύτερη περίπτωση το ζητούμενο είναι προφανές.

Έστω ότι η

αλλάζει πρόσημο στο $r \in (0,a)$ οπότε f(r)=0

Έχουμε ότι η $\sin (x-r)$ είναι θετική στο (r,a)

και αρνητική στο (0,r)

Αν η

δεν αλλάζει πρόσημο σε άλλο σημείο εκτός του

τότε

η $f(x)\sin (x-r)$ έχει το ίδιο πρόσημο στο $(0,a) - \{ r \}$

Αλλά επειδή $\sin (x-r)=\sin x\cos r-\cos x\sin r$

είναι $\displaystyle \int_0^a f(x) \sin (x-r) \mathrm{d} x = 0$

εχουμε λοιπόν Ατοπο.

Αρα αλλάζει πρόσημο σε τουλάχιστον ένα ακόμα σημείο του (0,a)

.
Αρα έχει τουλάχιστον δύο ρίζες.

Να σημειώσω ότι αν $a=\pi$ και $f(x)=\sin 3x$
πληρούνται οι προυποθέσεις και η f(x)=0

έχει ακριβώς δύο ρίζες στο $(0,\pi)$

Από Ολοκληρώματα ρίζες

Από Ολοκληρώματα ρίζες

Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες

Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες

Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες

Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες

Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες

Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες

Μέλη σε σύνδεση