Εύρεση τύπου

ann79 · #1

Έστω συνάρτηση $f:[0,+\infty)\rightarrow R$ με f(0)=1

για την οποία ισχύει $xf'(x)=f(x)+\int_{0}^{1}f(t)dt, x\geq 0$ . Να βρεθεί ο τύπος της

.

#2

ann79 έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 16, 2019 11:22 am
Έστω συνάρτηση $f:[0,+\infty)\rightarrow R$ με για την οποία ισχύει $xf'(x)=f(x)+\int_{0}^{1}f(t)dt, x\geq 0$ . Να βρεθεί ο τύπος της .

Για

η δοσμένη σχέση γράφεται $\displaystyle 0 = 1 + \int_0^1 {f(t)dt} \Leftrightarrow \int_0^1 {f(t)dt} = - 1$

Για x> 0,

$\displaystyle \frac{{xf'(x) - f(x)}}{{{x^2}}} = - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow {\left( {\frac{{f(x)}}{x}} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } \Rightarrow \frac{{f(x)}}{x} = \frac{1}{x} + c \Leftrightarrow f(x) = cx + 1$

$\displaystyle \int_0^1 {f(t)dt} = - 1 \Rightarrow \left[ {\frac{{c{x^2}}}{2} + x} \right]_0^1 = - 1 \Leftrightarrow c = - 4$ και $\boxed{f(x)=-4x+1}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ann79 έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 16, 2019 11:22 am
Έστω συνάρτηση $f:[0,+\infty)\rightarrow R$ με για την οποία ισχύει $xf'(x)=f(x)+\int_{0}^{1}f(t)dt, x\geq 0$ . Να βρεθεί ο τύπος της .

Για να την δούμε λίγο διαφορετικά.

Για x>0

από την

$xf'(x)=f(x)+\int_{0}^{1}f(t)dt, x\geq 0$

προκύπτει ότι η f''(x)

υπάρχει.

Παραγωγίζοντας παίρνουμε ότι

xf''(x)=0

Αρα για

είναι

Δηλαδή

οπότε βρίσκουμε την f(x)

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση