Επίλυση εξίσωσης

pito · #1

Καλημέρα

και καλή χρονιά σε όλους!

Να λυθεί η εξίσωση: $\int_{e}^{x}\frac{1}{tlnt}dt=e-x$

#2

pito έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 16, 2019 11:43 am
Καλημέρα και καλή χρονιά σε όλους!

Να λυθεί η εξίσωση: $\int_{e}^{x}\frac{1}{tlnt}dt=e-x$

Το αόριστο ολοκλήρωμα δίνει (άμεσο και γνωστό) $\ln (\ln t)$ . Άρα η εξίσωση είναι $\ln (\ln x) = e-x$ . Προφανής ρίζα η x=e

. Είναι και μοναδική διότι το αριστερό μέλος είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση και το δεξί γνήσια φθίνουσα.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 16, 2019 12:33 pm

pito έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 16, 2019 11:43 am
Καλημέρα και καλή χρονιά σε όλους!

Να λυθεί η εξίσωση: $\int_{e}^{x}\frac{1}{tlnt}dt=e-x$
Το αόριστο ολοκλήρωμα δίνει (άμεσο και γνωστό) $\ln (\ln t)$ . Άρα η εξίσωση είναι $\ln (\ln x) = e-x$ . Προφανής ρίζα η . Είναι και μοναδική διότι το αριστερό μέλος είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση και το δεξί γνήσια φθίνουσα.

Δεύτερες σκέψεις, καλύτερες: Δεν χρειάζεται να ολοκληρώσουμε!

Επειδή το "μέσα" στο ολοκλήρωμα είναι

, σημαίνει ότι το αριστερό μέλος είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση. Προφανής ρίζα η x=e

(και τα δύο μέλη ίσα με

). Είναι μοναδική αφού, όπως πριν, το το δεξί μέλος είναι γνήσια φθίνουσα συνάρτηση.

pito · #4

κ.Λάμπρου, καλή χρονιά! Σας ευχαριστώ για την ενασχόληση σας.Σε κάποια σημεία της λύσης σας έχω απορίες. Αν δεν βασιστούμε στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ολοκλήρωμα (που είναι το $(1,+\infty)$ ) γιατί το αντίστοιχο αόριστο ολοκλήρωμα δίνει ln(lnt)+c

και όχι

; Ακόμη, στη δεύτερη λύση σας, βασίζεστε στο πεδίο ορισμού της $\int_{e}^{x}\frac{1}{tlnt}dt$ για να πείτε ότι $\frac{1}{tlnt}>0$ , γιατί αλλιώς πως προκύπτει κάτι τέτοιο; Ευχαριστώ και πάλι θερμά.

#5

pito έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 16, 2019 1:45 pm
κ.Λάμπρου, καλή χρονιά! Σας ευχαριστώ για την ενασχόληση σας.Σε κάποια σημεία της λύσης σας έχω απορίες. Αν δεν βασιστούμε στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ολοκλήρωμα (που είναι το $(1,+\infty)$ ) γιατί το αντίστοιχο αόριστο ολοκλήρωμα δίνει και όχι ; Ακόμη, στη δεύτερη λύση σας, βασίζεστε στο πεδίο ορισμού της $\int_{e}^{x}\frac{1}{tlnt}dt$ για να πείτε ότι $\frac{1}{tlnt}>0$ , γιατί αλλιώς πως προκύπτει κάτι τέτοιο; Ευχαριστώ και πάλι θερμά.

Μυρτώ, Καλή Χρονιά.

Το πεδίο ορισμού είναι το $(0, 1) \cup (1,\infty)$ αλλά όταν ολοκληρώνουμε σε διάστημα [a,b]

πρέπει, λόγω της ασυνέχειας στο

, να εργαστούμε με περιορισμό είτε $[a,b] \subseteq (0, 1)$ ή $[a,b] \subseteq (1,\infty)$ . Συνηθίζουμε το δεύτερο, γι' αυτό άλλωστε λέμε (όπως έγραψες) ότι το π.ο. είναι το $(1,\infty)$ . Και αυτό έκανα στις λύσεις μου (βλέπε παρακάτω για την αιτία).

Εργαζόμενοι στο ένα ή, χωριστά, στο άλλο υποδιάστημα του π.ο., το αόριστο ολοκλήρωμα είναι πράγματι $\displaystyle{\ln|\ln t|+c}$ . Επειδή όμως μας ενδιαφέρει η συνάρτηση να ορίζεται στο

(που είναι άκρο του δοθέντος ολοκληρώματος) είναι σαφές ότι εργαζόμαστε στο $(1, \infty)$ . Εκεί η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι για προφανείς λόγους

, οπότε το απόλυτο στην απάντηση περιττεύει. Σε αυτό βασίστηκα και στην δεύτερη λύση όταν γράφω ότι "το μέσα είναι

". Το θεώρησα προφανές.

Αν θέλουμε να είμαστε απόλυτα πλήρεις, θα λέγαμε

$\displaystyle{\int_{e}^{x}\frac{1}{t\ln t}dt =...= \ln |\ln t||_e^x= \ln |\ln x| - \ln |\ln e|= \ln (\ln x) - \ln 1 = \ln (\ln x) }$ . Και λοιπά.

pito · #6

Σας ευχαριστώ κ.Λάμπρου, συμφωνούμε στην σκέψη, έτσι βρήκα και εγώ το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ολοκλήρωμα που δίνεται.Αναρωτιέμαι αν ένα τέτοιο θέμα θα μπορούσε να ζητηθεί πανελλαδικά ,δεδομένου ότι οι ασκήσεις που αφορούν τη συνάρτηση ολοκλήρωμα είναι εκτός ύλης, ή αν θα μπορούσε να λυθεί η άσκηση διαφορετικά , χωρίς να βασιστούμε στη συνάρτηση ολοκλήρωμα.

Την άσκηση την πήρα από γνωστό βοήθημα , υπάρχει ακριβώς μετά το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού .

#7

από ΘΜΤολ $\displaystyle{(x-e)\frac{1}{ulnu}}=e-x}$ η $\displaystyle{(x-e)(1+ulnu)=0}$

$\displaystyle{ln(1/u)\le (1/u)-1<(1/u)}$ άρα $\displaystyle{-ulnu<1}$ δηλαδή $\displaystyle{1+ulnu\ne 0}$

Αρα μοναδική λύση $\displaystyle{x=e}$

pito · #8

κ.Μπόρη σας ευχαριστώ για τον τρόπο που προτείνετε, θα τον μελετήσω.

nikos_el · #9

Πρέπει $\displaystyle x>1$ . 'Εχουμε: $\displaystyle {\int_e^x \dfrac{1}{t\ln t}} dt=e-x\Leftrightarrow {\int_e^x \dfrac{1}{t\ln t}} dt={\int_x^e 1} dt\Leftrightarrow {\int_e^x \left(\dfrac{1}{t\ln t}+1\right)} dt=0$ . Όμως, ισχύει: $\displaystyle \dfrac{1}{t\ln t}+1>0$ , $\displaystyle \forall t>1$ . Οπότε, είναι: $\displaystyle {\int_e^x \left(\dfrac{1}{t\ln t}+1\right)} dt < 0$ , αν $\displaystyle x<e$ και $\displaystyle {\int_e^x \left(\dfrac{1}{t\ln t}+1\right)} dt > 0$ , αν $\displaystyle x>e$ . Άρα, μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η $\displaystyle x=e$ , που πράγματι την επαληθεύει, αφού $\displaystyle {\int_e^e \dfrac{1}{t\ln t}} dt=0=e-e$ .

Επίλυση εξίσωσης

Επίλυση εξίσωσης

Re: Επίλυση εξίσωσης

Re: Επίλυση εξίσωσης

Re: Επίλυση εξίσωσης

Re: Επίλυση εξίσωσης

Re: Επίλυση εξίσωσης

Re: Επίλυση εξίσωσης

Re: Επίλυση εξίσωσης

Re: Επίλυση εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση