Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα

pito · #1

Καλησπέρα

.

Μπορεί το ολοκλήρωμα $I=\int_{1}^{2}x\sqrt{x-1}dx$ να λυθεί με την αντικατάσταση $\sqrt{x-1}=u\Rightarrow x=u^{2}+1$ δεδομένου ότι για την συνάρτηση $g(x)=\sqrt{x-1}$ δεν ισχύει ότι η g'(x) είναι μη μηδενική στο [1,2]

αφού δεν είναι παραγωγίσιμη στο

και υπάρχει πρόβλημα στην εφαρμογή του δεύτερου θεωρήματος αντικατάστασης στα ορισμένα ολοκληρώματα;

Tolaso J Kos · #2

pito έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 18, 2019 3:59 pm
Καλησπέρα .

Μπορεί το ολοκλήρωμα $I=\int_{1}^{2}x\sqrt{x-1}dx$ να λυθεί με την αντικατάσταση $\sqrt{x-1}=u\Rightarrow x=u^{2}+1$ .

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1}^{2} x \sqrt{x-1} \, \mathrm{d}x &\overset{\begin{subarray}{c} u=\sqrt{x-1} \\ \mathrm{d}x=2u \, \mathrm{d}u \end{subarray}}{=\! =\! =\! =\! =\!} 2 \int_{0}^{1} \left ( u^4+u^2 \right ) \, \mathrm{d}u \\ &=2 \left ( \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \right ) \\ &=\frac{16}{15} \end{aligned}}$

#3

Η ερώτηση ήταν αν επιτρέπεται να γίνει η αντικατάσταση και όχι να γίνει.

Δεν ξέρω τι λέει το σχολικό βιβλίο και ποιο ονομάζει πρώτο ή δεύτερo θεώρημα αντικατάστασης. Σίγουρα πρέπει να εξετάσουμε αν εφαρμόζεται ή όχι.

Γενικά όμως σε αυτήν την περίπτωση εφαρμόζεται το πιο κάτω θεώρημα στο οποίο δεν χρειάζεται να είναι παντού $g'(x) \neq 0$ .

Έστω συνάρτηση $g:[c,d] \to [a,b]$ συνεχής στο [c,d]

και παραγωγίσιμη στο (c,d)

με την

να είναι συνεχής στο (c,d)

. Έστω επίσης συνεχής συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ . Τότε η $(f \circ g)g'$ είναι ολοκληρώσιμη στο [c,d]

με

$\displaystyle \int_c^d f(g(x))g'(x) \, \mathrm{d}x = \int_{g(c)}^{g(d)} f(x) \, \mathrm{d}x$

Tolaso J Kos · #4

Δημήτρη ,

απαντάω νομίζω στο ερώτημα. Τώρα το σχολικό βιβλίο δε λέει τίποτα άλλο από αυτό:

: 1ebcab06-8282-44b8-8b7e-577c30b70da5.png (23.81 KiB) Προβλήθηκε 1336 φορές

Δεν υπάρχουν αναφορές στο σχολικό σε πρώτο ή δεύτερo θεώρημα αντικατάστασης. Αυτά υπάρχουν σε κάποιες εργασίες στο Internet. Επιπλέον για το Λύκειο θέλουμε οι υπό ολοκλήρωση συναρτήσεις να είναι συνεχείς.

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 10:53 am

pito έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 18, 2019 3:59 pm
Καλησπέρα .

Μπορεί το ολοκλήρωμα $I=\int_{1}^{2}x\sqrt{x-1}dx$ να λυθεί με την αντικατάσταση $\sqrt{x-1}=u\Rightarrow x=u^{2}+1$ .

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1}^{2} x \sqrt{x-1} \, \mathrm{d}x &\overset{\begin{subarray}{c} u=\sqrt{x-1} \\ \mathrm{d}x=2u \, \mathrm{d}u \end{subarray}}{=\! =\! =\! =\! =\!} 2 \int_{0}^{1} \left ( u^4+u^2 \right ) \, \mathrm{d}u \\ &=2 \left ( \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \right ) \\ &=\frac{16}{15} \end{aligned}}$

Δεν νομίζω ότι αυτό είναι απάντηση στο ερώτημα που τέθηκε παραπάνω
Στο σημείο λες $\displaystyle{x=x(u)=1+u^2}$ η $\displaystyle{χ}$ είναι παραγωγίσιμη στο 1 όμως η αντίστροφη της $\displaystyle{u(x)=\sqrt{x-1}}$ δεν είναι. Έτσι αποφύγαμε την δυσκολία του κάτω άκρου
Ένας άλλος τρόπος είναι να ολοκληρώσεις από $\displaystyle{1+d,d>0 }$ ως $\displaystyle{2}$ και να χρησιμοποιήσεις την συνέχεια όταν $\displaystyle{d\to 0}$

Tolaso J Kos · #6

Συγνώμη έχετε δίκιο. Έκανα λάθος εφαρμογή του θεωρήματος με f(t)=2(t^4+t^2)

καθώς το γινόμενο f(g(t)) g'(t)

είναι συνεχής αλλά η $g(t)=\sqrt{t-1}$ δεν έχει συνεχή παράγωγο.

Οπότε Μυρτώ έχεις δίκιο.

Λάμπρος Κατσάπας · #7

Γεια σου Μυρτώ.

Δεν καταλαβαίνω πως προκύπτει αυτή η αντικατάσταση. Αν το ολοκλήρωμα το βλέπεις σαν $\displaystyle\int_{a}^{b}f(g(x)){g}'(x)dx$ ποια είναι η

και ποια είναι η

;

Αν όμως το βλέπεις σαν $\displaystyle \int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx$ τότε αρκεί να βρεις μια

με συνεχή παράγωγο σε διάστημα [a,b]

ώστε

,

διάστημα και $f(x)=x\sqrt{x-1}$ συνεχής στο g([a,b])

. Μια τέτοια

είναι η

.

Για a=0,b=1

έχουμε

και

συνεχής. Επίσης

συνεχής στο

g([a,b])=[1,2]

. Τότε παίρνουμε

$\displaystyle \int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx =\int_{a}^{b}f(g(x)){g}'(x)dx=\int_{0}^{1}f(x+1)\cdot 1dx=\int_{0}^{1}(x+1)\sqrt{x}dx=$

$\displaystyle=\int_{0}^{1}x\sqrt{x}dx+\int_{0}^{1}\sqrt{x}dx=\int_{0}^{1}x^{3/2}dx+\int_{0}^{1}x^{1/2}dx=...$

pito · #8

Καλημέρα

.

Σας ευχαριστώ όλους θερμά για την ενασχόληση.
Αρχικά ήθελα να αναφέρω ότι το δεύτερο θεώρημα αντικατάστασης του ορισμένου ολοκλήρωματος δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο, σχετικά μπορεί κάποιος να μελετήσει το εξαιρετικό άρθρο του συνάδελφου Φάνη Μαργαρώνη στο blog "Εκθέτης" του κυρίου Μαυρογιάννη. Με συγχωρείτε που δεν το ανέφερα από την αρχή.Παρακαλώ για την εύρυθμη λειτουργία του forum να μεταφερθεί το θέμα που άνοιξα στο φάκελο του καθηγητή από τους γενικούς συντονιστές, αν κρίνεται απαραίτητο.

Το δεύτερο θεώρημα αναφέρει ότι:
"Αν μια συνάρτηση

ορισμένη σε ένα διάστημα [a,b]

συνεχώς παραγωγίσιμη με μη μηδενική παράγωγο στο [a,b]

και

συνεχή στο g([a,b])

, τότε ισχύει ότι
$\int_{a}^{b}f(g(t))dt=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)g^{-1}(x)dx$ .

Λάμπρο, στο παραπάνω θεώρημα αναφέρομαι , όπου θεωρώ το δοθέν ολοκλήρωμα ως το πρώτο μέλος της παραπάνω ισότητας με $f(t)=(t^{2}+1)t,g(t)=\sqrt{t-1}$ . Ο τρόπος που αναφέρεις με βρίσκει σύμφωνη για τη διδασκαλία του ολοκληρώματος στο λύκειο. Σε πολύ γνωστό βοήθημα που βρήκα όμως το ολοκλήρωμα προτείνεται η αντικατάσταση $\sqrt{x-1}=u$ όπως πρωτοέγραψε ο Τόλης , που δεν με παρέπεμψε στο γνωστό θέωρημα του σχολικού (όπως λες και εσύ), αλλά στο 2ο θεώρημα που εκεί γίνεται λάθος εφαρμογή του.

ann79 · #9

Σύμφωνα με τα παραπάνω σε μια άσκηση της μορφής:"Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{x}+x-1$ , να βρεθεί το $I=\int_{0}^{e}f^{-1}(x)dx$ με την προυπόθεση ότι η $f^{-1}$ είναι συνεχής , θέτοντας $f^{-1}(x)=u\Rightarrow x=f(u)\Rightarrow dx=f'(u)du$ και λοιπά" ποιο θεώρημα χρησιμοποιούμε;

Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα

Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα

Re: Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα

Re: Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα

Re: Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα

Re: Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα

Re: Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα

Re: Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα

Re: Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα

Re: Αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση