Ισότητα ολοκληρωμάτων
Συντονιστής: R BORIS
Ισότητα ολοκληρωμάτων
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση τέτοια, ώστε .
Η λύση:
Γενικά, αποδεικνύεται ότι, αν συνεχής συνάρτηση, ισχύει η ισοδυναμία: .
Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Έχουμε: . Όμως, , μόνο για , οπότε θα πρέπει . Τότε, θα ισχύει: και αφού η είναι συνεχής, ισχύει: , δηλαδή . Είναι: , άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Υπάρχει κάποιο λάθος στη λύση ή το τρίτο ολοκήρωμα της εκφώνησης () είναι περιττό ως δεδομένο;
Η λύση:
Γενικά, αποδεικνύεται ότι, αν συνεχής συνάρτηση, ισχύει η ισοδυναμία: .
Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Έχουμε: . Όμως, , μόνο για , οπότε θα πρέπει . Τότε, θα ισχύει: και αφού η είναι συνεχής, ισχύει: , δηλαδή . Είναι: , άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Υπάρχει κάποιο λάθος στη λύση ή το τρίτο ολοκήρωμα της εκφώνησης () είναι περιττό ως δεδομένο;
τελευταία επεξεργασία από nikos_el σε Παρ Φεβ 08, 2019 8:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
The road to success is always under construction
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων
Η απόδειξη σου είναι σωστή.Το μόνο που χρειάζεται ως δεδομένο για την άσκηση είναι .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων
Την μπορείς να τη δεις σαν συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τ.μ. .nikos_el έγραψε: ↑Παρ Φεβ 08, 2019 5:43 pmΝα δείξετε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση τέτοια, ώστε .
Η λύση:
Γενικά, αποδεικνύεται ότι, αν συνεχής συνάρτηση, ισχύει η ισοδυναμία: .
Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Έχουμε: . Όμως, , μόνο για , οπότε θα πρέπει . Τότε, θα ισχύει: και αφού η είναι συνεχής, ισχύει: , δηλαδή . Είναι: , άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Υπάρχει κάποιο λάθος στη λύση ή το τρίτο ολοκήρωμα της εκφώνησης () είναι περιττό ως δεδομένο;
Από τις υποθέσεις παίρνεις διασπορά μηδέν το οποίο μπορεί να συμβαίνει μόνο αν η τ.μ. είναι σταθερή εκτός
ίσως από ένα σύνολο μέτρου μηδέν. Τα παραπάνω δείχνουν ότι η άσκηση μπορεί να σταθεί σε ένα γενικότερο πλαίσιο. Συγνώμη τώρα είδα ότι είμαστε σε λυκειακό φάκελο
Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων
Αν ξεφύγουμε από τα μαθηματικά του λυκείου λιγο,τότε η υπόθεση να είναι συνεχής η συνάρτηση δεν χρειάζεται.Αρκεί να είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη και το συμπέρασμα ισχύει πάλι.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων
Μήπως διορθώνει έτσι την εκφώνηση;
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση τέτοια, ώστε .
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων
Μπορούμε να γενικεύσουμε κάπως, έστω:
να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις:
έτσι ώστε:
Το παραπάνω είναι προφανώς εφαρμογή για , απλά έτσι έχει νόημα και η τρίτη συνθήκη.
να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις:
έτσι ώστε:
Το παραπάνω είναι προφανώς εφαρμογή για , απλά έτσι έχει νόημα και η τρίτη συνθήκη.
Αρμενιάκος Σωτήρης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων
Για συναρτήσεις που συναντάμε στην Γ Λυκείου (εντός φακέλου δηλαδή).
οπότε (απλό) για κάθε και άρα για , από συνέχεια. Τότε όμως δεν ικανοποιείται η πρώτη δοθείσα. Άρα δεν υπάρχει τέτοια .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες