Υπολογισμός ορίου

ann79 · #1

Καλησπέρα.

Για τη συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{e^{x}-1}{x},x\neq 0\\1,x=0 \end{matrix}\right.$ , να υπολογιστεί το όριο $lim_{x\rightarrow 0^{+}}\int_{x}^{2x}\frac{f(t)}{x}dt$

Πως θα βαθμολογούσατε την παρακάτω λύση μαθητή:

Αφού η

είναι συνεχής, έστω

μια αρχική της , τότε εφαρμόζοντας ΘΜΤ στο [x,2x]

είναι $\int_{x}^{2x}\frac{f(t)}{x}dt=\frac{F(2x)-F(x)}{x}=F'(\xi )=f(\xi )$ με $\xi \rightarrow 0^{+}$ και το ζητούμενο όριο είναι $lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}\frac{e^{\xi }\xi -e^{\xi }+1}{\xi ^{2}}=1/2$ , δεδομένου ότι το ξ που προκύπτει από το θμτ είναι συνάρτηση του

;

Λάμπρος Κατσάπας · #2

ann79 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 18, 2019 2:14 pm
Καλησπέρα.

Για τη συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{e^{x}-1}{x},x\neq 0\\1,x=0 \end{matrix}\right.$ , να υπολογιστεί το όριο $lim_{x\rightarrow 0^{+}}\int_{x}^{2x}\frac{f(t)}{x}dt$

Πως θα βαθμολογούσατε την παρακάτω λύση μαθητή:

Αφού η είναι συνεχής, έστω μια αρχική της , τότε εφαρμόζοντας ΘΜΤ στο είναι $\int_{x}^{2x}\frac{f(t)}{x}dt=\frac{F(2x)-F(x)}{x}=F'(\xi )=f(\xi )$ με $\xi \rightarrow 0^{+}$ και το ζητούμενο όριο είναι $lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}\frac{e^{\xi }\xi -e^{\xi }+1}{\xi ^{2}}=1/2$ , δεδομένου ότι το ξ που προκύπτει από το θμτ είναι συνάρτηση του ;

Η λύση είναι προφανώς λάθος αφού θα έπρεπε να πάρει στο τέλος $\displaystyle lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}f(\xi )$

και όχι $\displaystyle lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}{f}'(\xi ).$ Με την παραπάνω διόρθωση και πάλι η λύση του μαθητή

''μπάζει'' όσον αφορά την τεκμηρίωση. Το $\xi$ είναι συνάρτηση του

λόγω κυρτότητας.

Μπορείτε να του προτείνεται μια φυσιολογική λύση μέσα σε σχολικά πλαίσια. Ας δείξει ότι η

είναι γνησίως αύξουσα. Τότε

$\displaystyle f(x)\leq f(t)\leq f(2x)\Rightarrow xf(x)\leq \int_{x}^{2x}f(t)dt\leq x f(2x)\Rightarrow f(x)\leq \int_{x}^{2x}\frac{f(t)}{x}dt\leq f(2x)$

Tέλος όρια στην τελευταία.

Υπολογισμός ορίου

Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Μέλη σε σύνδεση