Εμβαδόν χωρίου

#1

Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$\left\{ \begin{gathered} f(x) = x + 2 - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} \hfill \\ g(x) = - {x^2} + \frac{{13}}{5}x + \frac{{26}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Για δώδεκα ώρες, μόνο για μαθητές

Βαγγέλης Κωστούλας · #2

Ο τύπος της

είναι: $f(x)=\left\{\begin{matrix} 4, & x\geq 2\\ 2x, & x< 2 \end{matrix}\right.$ . Για τα κοινά σημεία των συναρτήσεων λύνω f(x)=g(x)

.

Στο $(-\infty,2)$ : $f(x)=g(x)\Leftrightarrow 2x=-x^2+\frac{13}{5}x+\frac{26}{5}\Leftrightarrow 5x^2-3x-26=0\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x=-2$ ή x=2,6

Στο $[2,+\infty)$ : $f(x)=g(x)\Leftrightarrow 4=-x^2+\frac{13}{5}x+\frac{26}{5}\Leftrightarrow 5x^2-13x-6=0\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x=3$ ή x=-0,4

Δεκτές λύσεις είναι οι x=-2

και

, ενώ από τη μελέτη του προσήμου κάθε τριωνύμου διαπιστώνω ότι η

βρίσκεται πάνω από την

στο διάστημα [-2,3]

.

Έτσι, το ζητούμενο εμβαδό είναι :
$E=\int_{-2}^{3}(g(x)-f(x))dx=\int_{-2}^{2}(-x^2+\frac{13}{5}x+\frac{26}{5}-2x)dx+\int_{2}^{3}(-x^2+\frac{13}{5}x+\frac{26}{5}-4)dx =\frac{101}{6}$ .

#3

Βαγγέλης Κωστούλας έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 16, 2019 3:25 pm
Ο τύπος της είναι: $f(x)=\left\{\begin{matrix} 4, & x\geq 2\\ 2x, & x< 2 \end{matrix}\right.$ . Για τα κοινά σημεία των συναρτήσεων λύνω .

Στο $(-\infty,2)$ : $f(x)=g(x)\Leftrightarrow 2x=-x^2+\frac{13}{5}x+\frac{26}{5}\Leftrightarrow 5x^2-3x-26=0\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x=-2$ ή

Στο $[2,+\infty)$ : $f(x)=g(x)\Leftrightarrow 4=-x^2+\frac{13}{5}x+\frac{26}{5}\Leftrightarrow 5x^2-13x-6=0\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x=3$ ή

Δεκτές λύσεις είναι οι και , ενώ από τη μελέτη του προσήμου κάθε τριωνύμου διαπιστώνω ότι η βρίσκεται πάνω από την στο διάστημα .

Έτσι, το ζητούμενο εμβαδό είναι :
$E=\int_{-2}^{3}(g(x)-f(x))dx=\int_{-2}^{2}(-x^2+\frac{13}{5}x+\frac{26}{5}-2x)dx+\int_{2}^{3}(-x^2+\frac{13}{5}x+\frac{26}{5}-4)dx =\frac{101}{6}$ .

: Εμβαδόν χωρίου Frag_3.png (21.23 KiB) Προβλήθηκε 1325 φορές

Ok Καλή επιτυχία .

Εμβαδόν χωρίου

Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Μέλη σε σύνδεση