Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Tolaso J Kos · #201

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 15, 2020 8:22 pm
Άσκηση 71

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right )} \, \mathrm{d}x = \ln \left ( 1 + \sqrt{2} \right )}$

Αυτό που είχα κατά νου ήταν το ακόλουθο:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J} &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right )} \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}} \, \mathrm{d}x \\ &= \sqrt{2} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{y=\pi/2-x}{=\! =\! =\! =\! =\!=\! =\!} \sqrt{2} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \left (\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x } \, \mathrm{d}x +\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x\right ) \\ &=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}x}{\cos \left ( x - \frac{\pi}{4} \right )} \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \frac{2}{\cos x} \, \mathrm{d}x \\ &= \left [ \ln \left ( \tan x + \frac{1}{\cos x} \right ) \right ]_0^{\pi/4} \\ &= \ln \left ( 1 + \sqrt{2} \right ) \end{aligned}}$

KARKAR · #202

Άσκηση 72

Δείξτε ότι : $\dfrac{43}{30}<\displaystyle \int_{0}^{1}e^{x^2}dx<\dfrac{52}{30}$

#203

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 24, 2020 8:32 pm
Άσκηση 72

Δείξτε ότι : $\dfrac{43}{30}<\displaystyle \int_{0}^{1}e^{x^2})dx<\dfrac{52}{30}$

Με χρήση του $e^t \ge 1+t+t^2/2$ έχουμε

$\displaystyle{\int_{0}^{1}e^{x^2}dx \ge \int_{0}^{1}\left (1+x^2 + \frac {x^4}{2}\right ) dx = \dfrac{43}{30}}$ (η αριστερή).

$\displaystyle{\int_{0}^{1}e^{x^2}dx \le \int_{0}^{1}e^{x}dx = e-1< 2,72-1= \dfrac{51,6}{30} < \dfrac{52}{30}}$ (η δεξιά).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #204

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 24, 2020 8:32 pm
Άσκηση 72

Δείξτε ότι : $\dfrac{43}{30}<\displaystyle \int_{0}^{1}e^{x^2}dx<\dfrac{52}{30}$

Για $x\in (0,1)$
είναι
$\displaystyle 1+x+\frac{1}{2}x^{2}< e^{x}< 1+x+\frac{1}{2}x^{2}+e\frac{1}{6}x^{3}$
(απόδειξη θεωρώντας συναρτήσεις και παραγωγίζοντας οσες φορές χρειάζεται)
οπότε βάζοντας όπου

το

γίνεται

$\displaystyle 1+x^2+\frac{1}{2}x^{4}< e^{x}< 1+x^2+\frac{1}{2}x^{4}+e\frac{1}{6}x^{6}$

ολοκληρώνοντας την τελευταία παίρνουμε

$\displaystyle \dfrac{43}{30}< \int_{0}^{1}e^{x^2}dx<\dfrac{43}{30}+e\frac{1}{7.6}< \dfrac{43}{30}+\frac{28}{10}\frac{1}{7.6}=\frac{45}{30}$

Γενικότερα για $x\in (0,1)$
είναι

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}< e^{x}< \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}+e\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$

και με βάση αυτή προσεγγίζουμε το ολοκλήρωμα με όσο σφάλμα θέλουμε.

Με πρόλαβε ο Μιχάλης.

KARKAR · #205

Η άσκηση δομήθηκε για να λυθεί , όπως ακριβώς προτείνει ο Μιχάλης .

Το άνω φράγμα είναι αρκετά μεγάλο και εύλογα επιδιώκεται η μείωσή του .

Ομολογώ ότι πρώτη φορά βλέπω την εξαιρετική ανισότητα που προτείνει ο Σταύρος ,

νομίζω πάντως ότι είναι μακριά από το βεληνεκές ακόμα και "ψαγμένων" μαθητών .

Αντ' αυτής προτείνω την αξιοποίηση της : $e^x<1+2x , \forall x\in (0,1)$ ,

η οποία κατεβάζει το άνω φράγμα στο : $\dfrac{50}{30}$ . Είναι πιθανό

να υπάρχει περαιτέρω βελτίωση ( με σχολική ύλη ) . Ίδωμεν ...

mick7 · #206

Άσκηση 73

Να υπολογιστεί το

$\displaystyle \int_{1}^{9} (x-1)(x-2)(x-3)...(x-9)dx$

Tolaso J Kos · #207

mick7 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 28, 2020 9:22 pm
Άσκηση 73

Να υπολογιστεί το

$\displaystyle \int_{1}^{9} (x-1)(x-2)(x-3)...(x-9)dx$

Από συμμετρία ....

.

Σταμ. Γλάρος · #208

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 28, 2020 10:00 pm

mick7 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 28, 2020 9:22 pm
Άσκηση 73

Να υπολογιστεί το

$\displaystyle \int_{1}^{9} (x-1)(x-2)(x-3)...(x-9)dx$

Από συμμετρία .... .

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Θέτω x-5=u

. Είναι $I=\displaystyle \int_{-4}^{4} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du=$
$=\displaystyle \int_{-4}^{0} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du +$
$+ \displaystyle \int_{0}^{4} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du = I_1 +I_2$
Θέτω t=-u

, οπότε
$I_1=\displaystyle \int_{0}^{4} (-t+4)(-t+3)(-t+2)(-t+1)(-t)(-t-1)(-t-2)(-t-3)(-t-4)dt =$
$=-\displaystyle \int_{0}^{4} (t-4)(t-3)(t-2)(t-1)t(t+1)(t+2)(t+3)(t+4)dt = -I_2$ .
Άρα I=0

.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

KARKAR · #209

Άσκηση 74

Υπολογίστε την τιμή του

για την οποία τα εμβαδά των χωρίων που περικλείονται από τις $C_{f} , C_{g}$

και τον άξονα x'x

, είναι ίσα . Μιλάμε για τις : f(x)=a-x^2

και $g(x)=a\cos x$ .

Σταμ. Γλάρος · #210

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 29, 2020 9:54 am
Άσκηση 74

Υπολογίστε την τιμή του για την οποία τα εμβαδά των χωρίων που περικλείονται από τις $C_{f} , C_{g}$

και τον άξονα , είναι ίσα . Μιλάμε για τις : και $g(x)=a\cos x$ .

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Είναι $\displaystyle{E\left ( \Omega _1 \right )= \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}(a-x^2)dx}$ $=\dfrac{4a\sqrt{a}}{3}$

και $\displaystyle{E\left ( \Omega _2 \right )= \int_{-\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{\pi}{2}}acosxdx} = 2a$ .

Άρα $E\left ( \Omega _1 \right )= E\left ( \Omega _2 \right )=$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{4a\sqrt{a}}{3} = 2a$ $\Leftrightarrow$ $a=\dfrac{9}{4}$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Ευχαριστώ τον KARKAR για την διόρθωση ...

KARKAR · #211

Για την ορθότητα της εκφώνησης , για την $g(x)=a\cos x$ , ζητάμε το εμβαδόν του χωρίου που δημιουργείται

από την γραφική παράστασή της και το τμήμα του x'x

, μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών ...

mick7 · #212

Παρατηρώντας το παρακάτω λόγω συμμετρίας είναι...

$\displaystyle \int_{-4}^{4} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du$ = $\int_{-4}^{4} (u^2-16)(u^2-9)(u^2-4)(u^2-1)udu$

Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 28, 2020 11:37 pm

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Θέτω . Είναι $I=\displaystyle \int_{-4}^{4} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du=$
$=\displaystyle \int_{-4}^{0} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du +$
$+ \displaystyle \int_{0}^{4} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du = I_1 +I_2$
Θέτω , οπότε
$I_1=\displaystyle \int_{0}^{4} (-t+4)(-t+3)(-t+2)(-t+1)(-t)(-t-1)(-t-2)(-t-3)(-t-4)dt =$
$=-\displaystyle \int_{0}^{4} (t-4)(t-3)(t-2)(t-1)t(t+1)(t+2)(t+3)(t+4)dt = -I_2$ .
Άρα .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

KARKAR · #213

Άσκηση 75

α) Δείξτε ότι η : $F(x)=\tan x-\dfrac{1}{\cos x}$ , είναι παράγουσα της : $f(x)=\dfrac{1}{1+\sin x}$

β) Υπολογίστε το : $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1}{1+\sin x}dx$ . Σχολιάστε !

panagiotis iliopoulos · #214

Προφανώς πρέπει να βρούμε το πλευρικό όριο της συνάρτησης F στο $\frac{\pi }{2}$ εξ αριστερών. Τελικά το ολοκλήρωμα βγαίνει ίσο με

.

#215

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 01, 2020 12:09 pm
Άσκηση 75

α) Δείξτε ότι η : $F(x)=\tan x-\dfrac{1}{\cos x}$ , είναι παράγουσα της : $f(x)=\dfrac{1}{1+\sin x}$

β) Υπολογίστε το : $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1}{1+\sin x}dx$ . Σχολιάστε !

α) Απλό

β) Αλλάζω τη μορφή της παράγουσας και είναι: $\displaystyle F(x) = \frac{{\tan \frac{x}{2} - 1}}{{\tan \frac{x}{2} + 1}}$ ή $\displaystyle - \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}$

#216

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 01, 2020 12:09 pm
Άσκηση 75

α) Δείξτε ότι η : $F(x)=\tan x-\dfrac{1}{\cos x}$ , είναι παράγουσα της : $f(x)=\dfrac{1}{1+\sin x}$

β) Υπολογίστε το : $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1}{1+\sin x}dx$ . Σχολιάστε !

...Καλημέρα σε όλη τη παρέα και καλή Σαρακοστή...το παραπάνω έχει πολλά σχόλια...
...ξεκινάω με μια προσέγγιση για να ανοίξει η συζήτηση...

α) Εύκολα δείχνουμε ότι ${F}'(x)={{\left( \tan x-\frac{1}{\cos x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{1-\sin x}{{{\cos }^{2}}x}=$

$=\frac{1}{1+\sin x},\,\,x\ne -\frac{\pi }{2}+2\kappa \pi ,\,\,\kappa \in \mathbb{Z}$

β) Υπολογίζοντας τώρα το ολοκλήρωμα $I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+\sin x}}dx,\,\,a<\frac{\pi }{2}$ είναι
$I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+\sin x}}dx=F(a)-F(0)=F(a)+1$

Τώρα $\underset{a\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,F(\alpha )=\underset{a\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\sin \alpha -1}{\cos \alpha })\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\cos \alpha }{-\sin \alpha })=0$ επομένως
$\int\limits_{0}^{\pi /2}{\frac{1}{1+\sin x}}dx=0+1=1$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#217

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 01, 2020 12:09 pm
Άσκηση 75

α) Δείξτε ότι η : $F(x)=\tan x-\dfrac{1}{\cos x}$ , είναι παράγουσα της : $f(x)=\dfrac{1}{1+\sin x}$

β) Υπολογίστε το : $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1}{1+\sin x}dx$ . Σχολιάστε !

Αλλιώς το ολοκλήρωμα χωρίς τη χρήση της παράγουσας. Είναι:

$\displaystyle \frac{1}{{1 + \sin x}} = \frac{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}{{{{(1 + \tan \frac{x}{2})}^2}}}\mathop = \limits^{\tan \frac{x}{2} = u} \frac{{1 + {u^2}}}{{{{(1 + u)}^2}}}$ και $\displaystyle dx = 2{\cos ^2}\frac{x}{2}du = \frac{2}{{1 + {u^2}}}$

Το ολοκλήρωμα λοιπόν γράφεται τελικά: $\displaystyle \int_0^1 {\frac{2}{{{{(1 + u)}^2}}}du} = \left[ { - \frac{2}{{u + 1}}} \right]_0^1 = 1$

mick7 · #218

Άσκηση 76

Να υπολογιστεί το

$\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{4}(1-x)}dx$

Xriiiiistos · #219

mick7 έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 09, 2020 1:12 pm
Άσκηση 76

Να υπολογιστεί το

$\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{4}(1-x)}dx$

$\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1}{x^{4}(1-x)}dx=\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1-x+x}{x^{4}(1-x)}dx=\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{3}(1-x)}dx=$

$\displaystyle \int_{2}^{3}x^{-4}+\dfrac{1-x+x}{x^{3}(1-x)}dx=...$
$=\displaystyle \int_{2}^{3} x^{-4}+x^{-3}+x^{-2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x} dx=$
$\left [ \frac{x^{-3}}{-3}+\frac{x^{-2}}{-2}+\frac{x^{-1}}{-1}+lnx-ln| 1-x| \right ]_{2}^{3}=...=ln3+\frac{8}{81}$

#220

Άσκηση 77

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int \dfrac {\sin ^2 x -\sin x -1}{e^{\sin x} +\cos x} \,dx }$

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση