Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#301

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 11, 2020 11:46 pm

Υ.Σ 1: Φυσικά αυτά τα ολοκληρώματα είναι εκτός φακέλου.

Όχι ακριβώς. Όπως γράφει στο πρώτο ποστ

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2019 8:03 am
Ανοίγω ένα θρεντ με ασκήσεις στα ολοκληρώματα, κατάλληλα για καλούς μαθητές Γ Λυκείου.

Η ιδέα είναι τα ολοκληρώματα να μην είναι ρουτίνας αλλά να μην φτάνουμε στο άλλο άκρο των
ολοκληρωμάτων που εμφανίζονται σε διαγωνισμούς για φοιτητές.

Πρέπει να είναι προσιτά με γνώσεις Λυκείου, τουλάχιστον όπως ήταν η ύλη λίγα χρόνια νωρίτερα πριν
καταργηθούν όσα καταργήθηκαν (τα οποία έπαψα να παρακολουθώ στις λεπτομέρειες γιατί δεν βγάζω άκρη. Και δεν τα κατανοώ.)

Απαγορεύονται ασκήσεις που απαιτούν συναρτήσεις $\Gamma$ , δυναμοσειρές και λοιπά.

Στα προηγούμενα έχουμε δει πολλές φορές αντίστροφες Τριγωνομετρικές όπως και άλλα θέματα που είναι εκτός Λυκείου σήμερα που τα Μαθηματικά έφτασαν στο ναδίρ. Π.χ. επιτρέπονται γενικευμένα ολοκληρώματα. Αυτά που απαγορεύονται δηλώνονται δύο γραμές παραπάνω.

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 11, 2020 11:46 pm
Υ.Σ 2: Το ολοκλήρωμα $\int \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x$ αντιμετωπίζεται με παράγοντες. Έστω $\mathcal{J}$ το δοθέν , παραγοντική και καταλήγουμε σε κάτι της μορφής $\mathcal{J} = Q(x) - \mathcal{J}$ .

Άλλος τρόπος είναι να θέσουμε $x = \sin t$ οπότε γίνεται $\int \cos ^2 t \,dt= \frac {1}{2} \int (\cos 2t +1)\,dt$ $, και λοιπά.

Από κάτω γράφω διαφορετικές λύσεις στην άσκηση.

#302

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 11, 2020 11:23 pm
Άσκηση 101

Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα

α) $\displaystyle{\int \arcsin x \,dx}$ και β) $\displaystyle{ \int \arcsin \sqrt x \,dx }$

'Αλλος τρόπος.

α) Θέτουμε $x=\sin t$ οπότε το δοθέν γίνεται $\int t \cos t dt = t\sin t - \int \sin t = t\sin t + \cos t +c$ , και λοιπά.

β) Θέτουμε $x =\sin ^2t$ οπότε το δοθέν γίνεται $2\int t \sin t \cos t dt = \int t \sin 2t \, dt$ , που αντιμετωπίζεται ακριβώς όπως στην προηγούμενη γραμμή.

#303

Άσκηση 102

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {1}{\sin x \sin (x+1)} \,dx}$

(Δείχνει απρόσιτη αλλά τελικά είναι απλή και χαριτωμένη)

4ptil · #304

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 12, 2020 7:50 pm
Άσκηση 102

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {1}{\sin x \sin (x+1)} \,dx}$

(Δείχνει απρόσιτη αλλά τελικά είναι απλή και χαριτωμένη)

Τι χαριτωμένη μου’βγαλε τη ψυχή να βρω τις σωστές αντικαταστάσεις

,θα βάλω την (άκομψη) απάντησή μου αύριο

#305

4ptil έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 12, 2020 10:30 pm

Τι χαριτωμένη μου’βγαλε τη ψυχή να βρω τις σωστές αντικαταστάσεις ,θα βάλω την (άκομψη) απάντησή μου αύριο

Τότε δεν βρήκες την σωστή (κομψή) μέθοδο. Η άσκηση λύνεται σε δύο γραμμές, και χωρίς αντικαταστάσεις.

4ptil · #306

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 12, 2020 10:33 pm

4ptil έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 12, 2020 10:30 pm

Τι χαριτωμένη μου’βγαλε τη ψυχή να βρω τις σωστές αντικαταστάσεις ,θα βάλω την (άκομψη) απάντησή μου αύριο
Τότε δεν βρήκες την σωστή (κομψή) μέθοδο. Η άσκηση λύνεται σε δύο γραμμές, και χωρίς αντικαταστάσεις.

Μάρκος Βασίλης · #307

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 12, 2020 7:50 pm
Άσκηση 102

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {1}{\sin x \sin (x+1)} \,dx}$

(Δείχνει απρόσιτη αλλά τελικά είναι απλή και χαριτωμένη)

Εγώ το σκέφτηκα λίγο σαν «ρητή συνάρτηση». Αν είχαμε το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int\frac{1}{x(x+1)}dx}$

θα κάναμε, κατά τα γνωστά τη διάσπαση σε απλά κλάσματα και μετά θα εμφανίζονταν οι παράγωγοι των λογαρίθμων $\ln x$ και $\ln (x+1)$ . Εδώ, αναλόγως, θα ψάξουμε για μία διάσπαση που να έχει να κάνει με τις παραγώγους των $\ln\sin x$ και $\ln\sin(x+1)$ . Επομένως, αναζητούμε $A,B\in\mathbb{R}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{\frac{1}{\sin x\sin(x+1)}=A\cot x+B\cot(x+1)=A\frac{\cos x}{\sin x}+B\frac{\cos(x+1)}{\sin(x+1)}}$

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη με $\sin x\sin(x+1)$ έχουμε:

$\displaystyle{1=A\cos x\sin(x+1)+B\cos(x+1)\sin x.}$

Τώρα, από την ταυτότητα $2\cos x\sin y=\sin(x+y)-\sin(x-y)$ παίρνουμε:

$\displaystyle{1=\frac{A}{2}(\sin(2x+1)-\sin(-1))+\frac{B}{2}(\sin(2x+1)-\sin1)\Leftrightarrow1=\frac{A+B}{2}\sin(2x+1)+\frac{A-B}{2}\sin1.}$

Και τα δύο μέλη είναι τριγωνομετρικά πολυώνυμα (εκ ταυτότητος ίσα), επομένως πρέπει να ισχύει:

$A+B=0\Leftrightarrow B=-A$ και $\dfrac{A-B}{2}\sin1=1\Leftrightarrow A=\dfrac{1}{\sin1}$ .

Έτσι παίρνουμε [unparseable or potentially dangerous latex formula] και η πολυπόθητη διάσπαση είναι η:

$\displaystyle{\frac{1}{\sin x\sin(x+1)}=\frac{1}{\sin1}(\cot x-\cot(x+1)),}$

οπότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα ισούται με:

$\displaystyle{\int\frac{1}{\sin x\sin(x+1)}dx=\frac{1}{\sin1}(\ln\sin x-\ln\sin(x+1)).}$

Φαντάζομαι, κάτι ανάλογο θα μπορεί να γίνει και σε αρκετές άλλες περιπτώσεις πηλίκων τριγωνομετρικών πολυωνύμων (όπως εδώ) με ανάλογο σκεπτικό.

#308

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 12, 2020 7:50 pm
Άσκηση 102

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {1}{\sin x \sin (x+1)} \,dx}$

Ποιο απλά (και αργότερα θα γράψω γιατί η παραπάνω λύση έχει σοβαρό λογικό σφάλμα, αν και βρίσκει την απάντηση):

$\displaystyle{\int \dfrac {1}{\sin x \sin (x+1)} \,dx}= \dfrac {1}{\sin 1}\displaystyle{\int \dfrac {\sin (x+1-x)}{\sin x \sin (x+1)} \,dx}= \dfrac {1}{\sin 1}\displaystyle{\int \dfrac {\sin (x+1)\cos x - \cos(x+1)\sin x}{\sin x \sin (x+1)} \,dx}=$

$\displaystyle{ = \dfrac {1}{\sin 1}\displaystyle{\int \dfrac {\cos x}{\sin x } \,dx - \dfrac {1}{\sin 1}\displaystyle{\int \dfrac {\cos (x+1)}{ \sin (x+1)} \,dx }= \dfrac {1}{\sin 1}(\ln \sin x - \ln \sin (x+1)) +c}$

4ptil · #309

4ptil έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 12, 2020 10:30 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 12, 2020 7:50 pm
Άσκηση 102

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {1}{\sin x \sin (x+1)} \,dx}$

(Δείχνει απρόσιτη αλλά τελικά είναι απλή και χαριτωμένη)
Τι χαριτωμένη μου’βγαλε τη ψυχή να βρω τις σωστές αντικαταστάσεις ,θα βάλω την (άκομψη) απάντησή μου αύριο

Εγώ εφάρμοσα την $\sin (x+1)=\sin x \cos 1 +\sin 1 \cos x$ , μετά από πράξεις έβγαλα $\int \frac{1}{\sin 1 \cot x + \cos 1} \csc^2(x)$ και αντικαθιστούμε $u=\cot x$ άρα $dx=- \frac{1}{\csc^2(x)}du$ και τα υπόλοιπα απλά, άσε που βαριέμαι και να τα γράφω

#310

4ptil έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 13, 2020 10:38 am

Εγώ εφάρμοσα την $\sin (x+1)=\sin x \cos 1 +\sin 1 \cos x$ , μετά από πράξεις έβγαλα $\int \frac{1}{\sin 1 \cot x + \cos 1} \csc^2(x)$ και αντικαθιστούμε $u=\cot x$ άρα $dx=- \frac{1}{\csc^2(x)}du$ και τα υπόλοιπα απλά, άσε που βαριέμαι και να τα γράφω

Σωστό είναι αλλά και μακρόσυρτο. Αν βαριέσαι να γράφεις, τότε ένας λόγος παραπάνω να βρίσκεις σύντομες λύσεις. Ακόμα καλύτερα, καλό είναι να αποβάλεις αυτή την εσφαλμένη νοοτροπία του "βαριέμαι". Σίγουρα θα σε οδηγήσει σε αδιέξοδα στην ζωή και ακόμη πιο σίγουρα θα σε καθηλώσει μόνο σε ρηχά Μαθηματικά.

Διάβασε το ποστ μου #

εδώ

Ας ακούσεις τι είπε ο Euler, σε μία χιουμοριστική αλλά ειλικρινή φράση του όταν σχολίαζε πώς μελετά Μαθηματικά: "Το μολύβι μου είναι πιο έξυπνο από εμένα".

4ptil · #311

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 13, 2020 12:37 pm

4ptil έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 13, 2020 10:38 am

Εγώ εφάρμοσα την $\sin (x+1)=\sin x \cos 1 +\sin 1 \cos x$ , μετά από πράξεις έβγαλα $\int \frac{1}{\sin 1 \cot x + \cos 1} \csc^2(x)$ και αντικαθιστούμε $u=\cot x$ άρα $dx=- \frac{1}{\csc^2(x)}du$ και τα υπόλοιπα απλά, άσε που βαριέμαι και να τα γράφω
Σωστό είναι αλλά και μακρόσυρτο. Αν βαριέσαι να γράφεις, τότε ένας λόγος παραπάνω να βρίσκεις σύντομες λύσεις. Ακόμα καλύτερα, καλό είναι να αποβάλεις αυτή την εσφαλμένη νοοτροπία του "βαριέμαι". Σίγουρα θα σε οδηγήσει σε αδιέξοδα στην ζωή και ακόμη πιο σίγουρα θα σε καθηλώσει μόνο σε ρηχά Μαθηματικά.

Διάβασε το ποστ μου # εδώ

Ας ακούσεις τι είπε ο Euler, σε μία χιουμοριστική αλλά ειλικρινή φράση του όταν σχολίαζε πώς μελετά Μαθηματικά: "Το μολύβι μου είναι πιο έξυπνο από εμένα".

Σωστά όλα αυτά αλλά ας διοριστώ πρώτα σε κανά γυμνάσιο να έχω το κεφάλι μου ήσυχο και μετά γίνομαι και διάδοχος του Euler

#312

4ptil έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 13, 2020 1:29 pm

Σωστά όλα αυτά αλλά ας διοριστώ πρώτα σε κανά γυμνάσιο να έχω το κεφάλι μου ήσυχο και μετά γίνομαι και διάδοχος του Euler

Μάλλον ανάποδα τα λες. Για τις περισσότερες δουλειές (π.χ. για Δάσκαλος ή Καθηγητής, ιδίως με διορισμό μέσω ΑΣΕΠ) πρέπει πρώτα να αποδείξεις την αξία σου, και μετά θα πάρεις το πόστο. Το να περιμένεις μετά το πτυχίο/διορισμό (όπως γράφεις) για να γίνεις διάδοχος του Euler, η απάντηση είναι μία: Όνειρα θερινής νυκτός.

Άσε που με τρώει η περιέργια, πώς συμβιβάζεται το γεγονός ότι θέλεις να ζήσεις απαθής το μέρος της ζωής σου όπου συσσωρεύεις της βάσεις της παιδείας σου αλλά ξαφνικά θα ξυπνήσεις Euler. Αυτό δεν γίνεται. Ή το 'χεις ή δεν το 'χεις. Μη περιμένεις επιφοίτηση του Αγίου Πνεύματος

4ptil · #313

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 13, 2020 1:53 pm

4ptil έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 13, 2020 1:29 pm

Σωστά όλα αυτά αλλά ας διοριστώ πρώτα σε κανά γυμνάσιο να έχω το κεφάλι μου ήσυχο και μετά γίνομαι και διάδοχος του Euler
Μάλλον ανάποδα τα λες. Για τις περισσότερες δουλειές (π.χ. για Δάσκαλος ή Καθηγητής, ιδίως με διορισμό μέσω ΑΣΕΠ) πρέπει πρώτα να αποδείξεις την αξία σου, και μετά θα πάρεις το πόστο. Το να περιμένεις μετά το πτυχίο/διορισμό (όπως γράφεις) για να γίνεις διάδοχος του Euler, η απάντηση είναι μία: Όνειρα θερινής νυκτός.

Άσε που με τρώει η περιέργια, πώς συμβιβάζεται το γεγονός ότι θέλεις να ζήσεις απαθής το μέρος της ζωής σου όπου συσσωρεύεις της βάσεις της παιδείας σου αλλά ξαφνικά θα ξυπνήσεις Euler. Αυτό δεν γίνεται. Ή το 'χεις ή δεν το 'χεις. Μη περιμένεις επιφοίτηση του Αγίου Πνεύματος

Μα καλά εγώ για πλάκα το είπα εννοώντας πως τα λόγια του μεγαλύτερου μαθηματικού δεν απευθύνονται σε χωριάτες αλλά σε ανθρώπους που έχουν προδιαγραφές για ακαδημαϊκή καριέρα. Επίσης ποιός ο λόγος να γίνεται αυτή η συζήτηση σε φάκελο με ασκήσεις; Δε συνεννοείστε οι μαθηματικοί με απλούς ανθρώπους μου φαίνεται.

#314

Άσκηση 103

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_0^1 \dfrac {\arctan x}{1+x} \,dx}$

(Αν δεν κάνεις σωστά βήματα μπορεί να μακρυγορήσεις. Πάντως θέλει κάποια δουλειά έτσι και αλλιώς)

Edit: Πρόσθεσα όρια στο ολοκλήρωμα. Βλέπε παρακάτω στα ποστ του Τόλη, τον οποίο ευχαριστώ για την επισήμανση της παράλειψης.

Tolaso J Kos · #315

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 13, 2020 2:18 pm
Άσκηση 103

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {\arctan x}{1+x} \,dx}$

(Αν δεν κάνεις σωστά βήματα μπορεί να μακρυγορήσεις. Πάντως θέλει κάποια δουλειά έτσι και αλλιώς)

Μιχάλη , πάλι πρέπει να ξέχασες να βάλεις τα άκρα. Πρέπει να λες αυτό εδώ. Το χουμε δει στη δημοσίευση $\#37$ . Είναι η άσκηση

. Κάνουμε παράγοντες et voilà:

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 18, 2019 2:34 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 18, 2019 7:31 am
Άσκηση 12

Nα υπολογισθεί το $\displaystyle{ \displaystyle \int _0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\,dx}$

Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $x \mapsto \frac{1-x}{1+x}$ οπότε έχουμε, αν $\mathcal{J}$ το ολοκλήρωμα τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J} &=\int_0^1 \dfrac{\ln\left(\tfrac{2}{1+x}\right)}{1+x^2} \, \mathrm{d}x\\ &=\int_0^1 \dfrac{\ln 2}{1+x^2}\, \mathrm{d}x- \mathcal{J}\\ &=\dfrac{\pi \ln 2}{4}- \mathcal{J} \\ &\implies \mathcal{J} = \frac{\pi \ln 2}{8} \end{aligned} }$

ή ακόμα καλύτερα η άσκηση 12Β.

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 18, 2019 8:18 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 18, 2019 5:49 pm

Άσκηση 12B

Nα υπολογισθεί το $\displaystyle{ \displaystyle \int _0^1\frac{\arctan x}{1+x}\,dx}$

Λόγω του $\arctan x$ είναι εκτός σχολικής ύλης. Την τοποθετώ μόνο και μόνο γιατί είναι το δίδυμο αδελφάκι της Άσκησης 12. Το μόνο που χρειάζεται να ξέρεις για την $\arctan$ είναι ότι $(\arctan x)' = \frac {1}{1+x^2}$ .

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{1+x}\, \mathrm{d}x &= \left [ \ln(x+1) \arctan x \right ]_0^1 - \int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\, \mathrm{d}x\\ &=\frac{\pi \ln 2}{4} - \int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\, \mathrm{d}x \\ &=\frac{\pi \ln 2}{4}- \frac{\pi \ln 2}{8} \\ &= \frac{\pi \ln 2}{8} \end{aligned}}$

#316

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 13, 2020 2:28 pm
Μιχάλη , πάλι πρέπει να ξέχασες να βάλεις τα άκρα. Πρέπει να λες αυτό εδώ. Το χουμε δει στη δημοσίευση $\#37$ . Είναι η άσκηση . Κάνουμε παράγοντες et voilà:

Τόλη, ευχαριστώ. Πράγματι την είχα ξεχάσει αλλά ας προσθέσω ότι δεν χρειάζονται τα άκρα. Η μέθοδος που κάνεις (με τα άκρα) προσαρμόζεται αυτολεξί και χωρίς τα άκρα. (Βλέπε δημοσίευση $\#37$ και $\#39$ ).

Tolaso J Kos · #317

Χάνω κάτι; Χωρίς τα άκρα , θα μας βγουν διλογάριθμοι.

Tolaso J Kos · #318

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 12, 2020 7:50 pm
Άσκηση 102

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {1}{\sin x \sin (x+1)} \,dx}$

(Δείχνει απρόσιτη αλλά τελικά είναι απλή και χαριτωμένη)

Και εδώ παλιότερα ένα παρόμοιο.

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 08, 2011 2:16 am
Υπολογισθήτω το $\displaystyle{\int\frac{1}{\sin(x+2)\sin(x+3)}\,dx}$ .

#319

Παραπάνω έλεγα ότι

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 13, 2020 2:40 pm
... ας προσθέσω ότι δεν χρειάζονται τα άκρα. Η μέθοδος που κάνεις (με τα άκρα) προσαρμόζεται αυτολεξί και χωρίς τα άκρα. (Βλέπε δημοσίευση $\#37$ και $\#39$ ).

αλλά ο Τόλης επεσήμανε

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 13, 2020 2:42 pm
Χάνω κάτι; Χωρίς τα άκρα , θα μας βγουν διλογάριθμοι.

Έχεις δίκιο. Τα άκρα χρειάζονται. Έκανα την προσθήκη στην αρχική ερώτηση, παραπάνω.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ

Tolaso J Kos · #320

Έκανα compile κάποια από τα πρόβλημα ( μόνο εκφωνήσεις ) που βρίσκονται στο thread εδώ.

integrals_collections.pdf: (99.19 KiB) Μεταφορτώθηκε 89 φορές

Το αρχείο στοιχειοθετείται με XeTeX.

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση