Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#81

Ας την ονομάσουμε Άσκηση 26 (βλέπε το ποστ #

)

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 25, 2019 9:43 pm
Υπολογίστε το : $\displaystyle \int \left ( \frac{1}{lnx} -\frac{1}{ln^2x}\right )dx$

#82

Άσκηση 26

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 25, 2019 10:24 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 25, 2019 9:43 pm
Υπολογίστε το : $\displaystyle \int \left ( \frac{1}{lnx} -\frac{1}{ln^2x}\right )dx$

Πέρα από το παραπάνω μπορούμε να σπάσουμε το ολοκλήρωμα και στο δεύτερο να κάνουμε παράγοντες !

Τόλη, και στο πρώτο μπορούμε με κατά παράγάντες. Χάριν πληρότητας:

$\displaystyle \int \frac{1}{\ln x}\,dx = \int x'\cdot \frac{1}{\ln x}\,dx = x\cdot \frac{1}{\ln x} + \int x\cdot \frac{1}{\ln ^2x}\cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{x}{\ln x} + \int \frac{1}{\ln ^2x}\, dx$

Άρα

$\displaystyle \int \left ( \frac{1}{\ln x} -\frac{1}{\ln ^2x}\right )\, dx = \frac{x}{\ln x} +c$

#83

Άσκηση 27

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \displaystyle \int \sqrt {\dfrac {x}{x+1} }\,dx}$

(Απλή αλλά χρειάζεται η σωστή αντικατάσταση. Λύνεται με διάφορους τρόπους.)

KARKAR · #84

Άσκηση 28

Βρείτε την απλούστερη* εκδοχή της

, αν : $f''(x)=\dfrac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}}$

* Μηδενίστε τις σταθερές ολοκλήρωσης .

#85

Άσκηση 29

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle \int_0^1 {\frac{{2{x^2} - 4x + 3}}{{{x^3} - 3{x^2} + 4}}} dx$

#86

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:22 am
Άσκηση 29

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle \int_0^1 {\frac{{2{x^2} - 4x + 3}}{{{x^3} - 3{x^2} + 4}}} dx$

$\displaystyle \int_0^1 {\frac{{2{x^2} - 4x + 3}}{{{x^3} - 3{x^2} + 4}}} dx = \int_0^1 {\frac{ 2{x^2} - 4x + 3}{(x+1)(x-2)^2} dx$

Προχωράμε με ανάλυση κλασμάτων. Μετά τις πράξεις "το μέσα" γράφεται $\displaystyle{\dfrac {1}{9(x+1)}-\dfrac {1}{9(x-2)}+ \dfrac {1}{3(x-2)^2}}$ . Τώρα η ολοκλήρωση είναι άμεση.

#87

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:12 am
Άσκηση 28

Βρείτε την απλούστερη* εκδοχή της , αν : $f''(x)=\dfrac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}}$

* Μηδενίστε τις σταθερές ολοκλήρωσης .

H αλλαγή μεταβλητής x=t^2

το φέρνει στο $\displaystyle{\int {\dfrac {e^t(t-1)}{2t^2}\,dt = \int \left (\dfrac {e^t}{2t}\right )' \,dt = \dfrac {e^t}{2t}+c= \dfrac {e^{\sqrt x}}{2\sqrt x} +c}$

Τρώμε την σταθερά και με ακριβώς τον ίδιο τρόπο $\displaystyle{\int {\dfrac {e^{\sqrt x}}{2\sqrt x} \,dx = e^{\sqrt x}+c}$ , δηλαδή $f(x)=e^{\sqrt x}$ .

#88

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:12 am
Άσκηση 28

Βρείτε την απλούστερη* εκδοχή της , αν : $f''(x)=\dfrac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}}$

* Μηδενίστε τις σταθερές ολοκλήρωσης .

Λίγο διαφορετικά από του Μιχάλη, χωρίς αλλαγή μεταβλητής και το σύμβολο της ολοκλήρωσης (στην ουσία δεν αλλάζει).

$\displaystyle f''(x) = \frac{{{e^{\sqrt x }}\sqrt x - {e^{\sqrt x }}}}{{\sqrt x {{(2\sqrt x )}^2}}} = \frac{{{e^{\sqrt x }} - \frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{\sqrt x }}}}{{{{(2\sqrt x )}^2}}} = \frac{{({e^{\sqrt x }})'(2\sqrt x) - {e^x}(2\sqrt x )'}}{{{{(2\sqrt x )}^2}}} = {\left( {\frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2\sqrt x }}} \right)^\prime } = {\left( {{e^{\sqrt x }}} \right)^{\prime \prime }}$

Άρα, $\boxed{f(x) = {e^{\sqrt x }}}$

#89

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:11 am
Άσκηση 27

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \displaystyle \int \sqrt {\dfrac {x}{x+1} }\,dx}$

(Απλή αλλά χρειάζεται η σωστή αντικατάσταση. Λύνεται με διάφορους τρόπους.)

Θέτω $\displaystyle u = x + 1$ και το ολοκλήρωμα γράφεται:

$\displaystyle \int {\sqrt {\frac{{u - 1}}{u}} } du = {\int {\sqrt {\frac{{u - 1}}{u}} (u)'du = \sqrt {\frac{{u - 1}}{u}} u - \int {u\left( {\sqrt {\frac{{u - 1}}{u}} } \right)} } ^\prime }du =$

$\displaystyle \sqrt {\frac{{u - 1}}{u}} u - \int {\frac{{du}}{{2\sqrt {u(u - 1)} }}} = ... = \sqrt {u(u - 1)} - \ln \left( {\sqrt {|u|} + \sqrt {|u - 1|} } \right) + c,$ κλπ.

#90

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 26, 2019 7:07 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:11 am
Άσκηση 27

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \displaystyle \int \sqrt {\dfrac {x}{x+1} }\,dx}$

(Απλή αλλά χρειάζεται η σωστή αντικατάσταση. Λύνεται με διάφορους τρόπους.)
Θέτω $\displaystyle u = x + 1$ και το ολοκλήρωμα γράφεται:
...

Ωραιότατα.

Επειδή ανέφερα ότι λύνεται με διάφορους τρόπους, ας δούμε άλλον ένα.

Θέτουμε $\displaystyle{\sqrt { \dfrac {x}{x+1}} =t}$ , οπότε $x= \dfrac {t^2}{1-t^2}$ και το ολοκλήρωμα γίνεται $\displaystyle{\int \dfrac {2t^2}{(1-t^2)^2}\,dt}$ . Μπορούμε να συνεχίσουμε με κατά παράγοντες γράφοντας

$\displaystyle{\int \dfrac {2t^2}{(1-t^2)^2}\,dt =\int t \dfrac {2t}{(1-t^2)^2}\,dt = \int t \left (\dfrac {1}{1-t^2}\right ) ' \,dt = \dfrac {t}{1-t^2} - \int \dfrac {1}{1-t^2} \,dt}$

και λοιπά.

#91

Άσκηση 30

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \displaystyle \int cos ^2 \sqrt x \,dx}$

(Είναι απλό αλλά θέλει και κάποια μικρή γνώση βασικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων).

Κάτι ακόμα: Βλέπω ότι το θρεντ αυτό κοντεύει τις 2020

προβολές σε μικρό χρόνο από την γέννησή του. Καλό σημάδι! Το

είναι ζωντανό.

#92

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 26, 2019 9:53 pm
Άσκηση 30

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \displaystyle \int cos ^2 \sqrt x \,dx}$

(Είναι απλό αλλά θέλει και κάποια μικρή γνώση βασικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων).

Κάτι ακόμα: Βλέπω ότι το θρεντ αυτό κοντεύει τις προβολές σε μικρό χρόνο από την γέννησή του. Καλό σημάδι! Το είναι ζωντανό.

Χρησιμοποιώ τον μετασχηματισμό $\displaystyle x = {u^2} \Rightarrow dx = 2udu$ και το ολοκλήρωμα γράφεται:

$\displaystyle \int {2u{{\cos }^2}udu = \int {u\left( {1 + \cos 2u} \right)} } du = \frac{{{u^2}}}{2} + \int {u{{\left( {\frac{{\sin 2u}}{2}} \right)}^\prime }du = }$

$\displaystyle \frac{{{u^2}}}{2} + \frac{{u\sin 2u}}{2} - \int {\frac{{\sin 2u}}{2}} du = \frac{{{u^2}}}{2} + \frac{{u\sin 2u}}{2} + \frac{{\cos 2u}}{4} + c,$ κλπ.

#93

Άσκηση 31

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{({x^2} + 2)}^5}} }}}$

Χρειάζεται κατάλληλη αντικατάσταση.

#94

$\displaystyle{x/\sqrt{2}=tany}$ τοτε $\displaystyle{I=\frac{1}{2^{5/2}} \int \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(1+tan^2y)^5}}(1+tan^2y)dy}$
αρα
$\displaystyle{I=\frac{1}{\sqrt{8}}\int\frac{1}{\sqrt{(1+tan^2y)^3}}dy=\frac{1}{\sqrt{8}}\int cos^3ydy}$
ωστε
$\displaystyle{I=\frac{1}{\sqrt{8}}\int(1-sin^2y)d(siny)=\frac{1}{\sqrt{8}}(u-u^3/3)+c ,u=siny=\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}}$

KARKAR · #95

Άσκηση 32

Υπολογίστε το : $\displaystyle \int \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}dx$

mick7 · #96

Αρκει να παρατηρησει κανεις οτι

$\displaystyle (log(1+\sqrt{x}))'=\frac{1}{2(x+\sqrt{x})}$

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 27, 2019 9:45 pm
Άσκηση 32

Υπολογίστε το : $\displaystyle \int \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}dx$

#97

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 27, 2019 9:45 pm
Άσκηση 32

Υπολογίστε το : $\displaystyle \int \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}dx$

Με $1+\sqrt x =y$ γίνεται $\displaystyle \int 2(y-1) \ln y \, dy$ που είναι άμεσο με κατά παράγοντες. Τελική απάντηση $\ln ^2(1+\sqrt x)+c$ .

Edit: Διόρθωσα την τυπογραφική αβλεψία που επισημαίνει ο mick7 αμέσως από κάτω. Τον ευχαριστώ.

mick7 · #98

Είναι $\displaystyle ln^2(1+\sqrt{x})+c$

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 27, 2019 10:10 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 27, 2019 9:45 pm
Άσκηση 32

Υπολογίστε το : $\displaystyle \int \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}dx$
Με $1+\sqrt x =y$ γίνεται $\displaystyle \int 2(y-1) \ln y \, dy$ που είναι άμεσο με κατά παράγοντες. Τελική απάντηση $2\ln (1+\sqrt x)+c$ .

#99

Άσκηση 33

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\displaystyle \int_0^{\pi /2} (\sin ^2 (\sin x) + \cos ^2 (\cos x) )\,dx}$

(Αρκετά απλή. Την βάζω εδώ μόνο και μόνο επειδή με πρώτη ματιά τρομάζει.)

KARKAR · #100

Άσκηση 34
Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο

, για τον οποίον : $\displaystyle\int_{0}^{k}\frac{\sqrt{x}}{e^{\sqrt{x}}}dx>3$

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση