Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: R BORIS

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#121

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 03, 2020 11:17 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Ιαν 02, 2020 9:25 pm

Χρησιμοποιώ εδώ το γεγονός ότι η παράσταση είναι συνεχής ως προς a (απόδειξη απλή αλλά εκτός ύλης), πλην όμως το ολοκλήρωμα υπολογίζεται ούτως ή άλλως στοιχειωδώς, οπότε δεν έχουμε πρόβλημα. Το αόριστο ισούται \displaystyle{(2-a)\ln (e^x+a) +e^x-2x}.
Ας τα δούμε αυτά, για λόγους πληρότητας.

1) Για a, b>0 έχουμε

\displaystyle \left | \int_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx - \int_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}-2b}{e^x+b}dx\right | = \left | \int_{0}^{1}\left (\dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx - \dfrac{e^{2x}-2b}{e^x+b}\right ) dx\right |\le  \int_{0}^{1} \left |\dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a} -  \dfrac{e^{2x}-2b}{e^x+b}\right |dx

\displaystyle{= \int_{0}^{1} \left |\dfrac{(b-a)(2e^x +e^{2x})}{(e^x+a)(e^x+b)} \right |dx \le \int_{0}^{1} \left |\dfrac{(b-a)(2e^x +e^{2x})}{e^x \cdot e^x} \right |dx= |b-a|c}

όπου c σταθερά. Και λοιπά.

2) η αλλαγή μεταβλητής e^x δίνει ότι το (αόριστο) ολοκλήρωμα ισούται

\displaystyle{\int \dfrac{t^2-2a}{(t+a)t} dt =\int\left ( 1-  \dfrac{ 2}{t} -  \dfrac{ 2-a}{t+a} \right ) = t-\ln t -(2-a)\ln (t+a) +c}, και λοιπά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#122

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 03, 2020 7:22 pm

Άσκηση 42

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \displaystyle{ \int \left  (x+1 -  \dfrac{1}{x}\right ) e^ {x+  \frac{1}{x}} \,dx} }

(Ίσως παιδέψει νεαρούς λύτες, αλλά κατά βάθος είναι στρωτή).
(Η Άσκηση 40 μένει αναπάντητη).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#123

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 04, 2020 6:26 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Δεκ 30, 2019 1:08 am
Άσκηση 40

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\displaystyle{ \int \dfrac{x^{1514}}{x^{2020}+1}}}\,dx} για x>0.

(Απλή αν δεν έχεις αριθμοφοβία με τα "μεγάλα" νούμερα όπως το 2020. Προσοχή όμως, οδηγεί σε arctan, αλλά σε μορφή που το είδαμε εδώ πολλές φορές).
Υπόδειξη: Το ολοκλήρωμα είναι της μορφής \displaystyle{\displaystyle{ \int \dfrac{x^{3a-1}}{x^{4a}+1}}}\,dx}.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11626
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#124

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 04, 2020 9:19 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 02, 2020 8:31 pm
Άσκηση 41

i) Δείξτε ότι : ln\dfrac{e+1}{2}>3-e
ii) Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του θετικού a , ώστε : \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx=0
Ας γράψω και την δική μου προσέγγιση :

Για τον υπολογισμό του αόριστου : Είναι : \dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a}=\dfrac{e^{2x}-a^2+a^2-2a}{e^x+a}=e^x-a+(a-2)\dfrac{a}{e^x+a}=

=e^x-a+(a-2)\dfrac{e^x+a-e^x}{e^x+a}=e^x-a+(a-2)-(a-2)\dfrac{e^x}{e^x+a} =e^x-2+(2-a)\dfrac{(e^x+a)'}{e^x+a} .

Συνεπώς : \displaystyle \int \frac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx=e^x-2x+(2-a)ln(e^x+a)+c .

Έτσι λοιπόν παίρνουμε : \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx=e-3+(2-a)ln\frac{e+a}{1+a}=g(a) .

Η g είναι συνεχής , με : g(2)=e-3<0 και : g(1)=ln\dfrac{e+1}{2}+e-3>0 , από i) .

Δίνω και μιαν "επαγγελματική" απόδειξη για την i) . Θα εφαρμόσω το Θ.Μ.Τ. για την h(x)=ln(x+1) , στο [1,e]

Υπάρχει λοιπόν \xi\in (1,e) : \dfrac{1}{\xi+1}=\dfrac{ln(e+1)-ln2}{e-1} . Αλλά :  \dfrac{1}{e+1}< \dfrac{1}{\xi+1} ,

δηλαδή : \dfrac{e-1}{e+1}<ln\dfrac{e+1}{2} . Αρκεί λοιπόν : 3-e<\dfrac{e-1}{e+1}\Leftrightarrow e^2-e-2>0 ,

το οποίο ισχύει αφού το τριώνυμο x^2-x-2 , είναι θετικό για κάθε x>2 .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11626
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#125

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 04, 2020 3:16 pm

Άσκηση 43

Δείξτε ότι υπάρχει θετικός k , k<e , τέτοιος ώστε : \displaystyle \int_{0}^{k}\frac{e^x-1}{xe^x+1}dx=1
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Σάβ Ιαν 04, 2020 7:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9351
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#126

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 04, 2020 6:07 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 04, 2020 3:16 pm
Άσκηση 43
Δείξτε ότι υπάρχει θετικός k , k<e , τέτοιος ώστε : \displaystyle \int_{0}^{k}\frac{e^x-1}{xe^x+1}dx=1
\displaystyle \int_0^k {\frac{{{e^x} - 1}}{{x{e^x} + 1}}dx = } \int_0^k {\left( {\frac{{x{e^x} + {e^x}}}{{x{e^x} + 1}} - 1} \right)dx}  = \int_0^k {\frac{{(x{e^x} + 1)'}}{{x{e^x} + 1}}dx - \int_0^k {dx} }  = \ln (k{e^k} + 1) - k

\displaystyle \ln (k{e^k} + 1) - k = 1 \Leftrightarrow {e^{k + 1}} = k{e^k} + 1. Η συνάρτηση \displaystyle f(k) = {e^{k + 1}} - k{e^k} - 1 είναι συνεχής και

\displaystyle f(0)f(e) = (e - 1)( - 1) < 0, οπότε υπάρχει \displaystyle k \in (0,e) ώστε \displaystyle \int_0^k {\frac{{{e^x} - 1}}{{x{e^x} + 1}}dx = 1}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9351
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#127

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 04, 2020 6:26 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Ιαν 03, 2020 7:22 pm
Άσκηση 42

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \displaystyle{ \int \left  (x+1 -  \dfrac{1}{x}\right ) e^ {x+  \frac{1}{x}} \,dx} }

(Ίσως παιδέψει νεαρούς λύτες, αλλά κατά βάθος είναι στρωτή).
(Η Άσκηση 40 μένει αναπάντητη).
\displaystyle \int {\left( {x + 1 - \frac{1}{x}} \right)} {e^{x + \frac{1}{x}}}dx = \int {\left[ {{e^{x + \frac{1}{x}}} + \left( {x - \frac{1}{x}} \right){e^{x + \frac{1}{x}}}} \right]} dx = \int {\left( {x'{e^{x + \frac{1}{x}}} + x({e^{x + \frac{1}{x}}})'} \right)dx  }

\displaystyle \int {\left( {x + 1 - \frac{1}{x}} \right)} {e^{x + \frac{1}{x}}}dx = x{e^{x + \frac{1}{x}}} + c


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2236
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#128

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Ιαν 04, 2020 7:36 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 04, 2020 3:16 pm
Άσκηση 43

Δείξτε ότι υπάρχει θετικός k , k<e , τέτοιος ώστε : \displaystyle \int_{0}^{k}\frac{e^x-1}{xe^x+1}dx=1
λιγο διαφορετικά
\displaystyle{f(k)=\int_{0}^{k}{\frac{e^x-1}{xe^x+1}dx}-1}

\displaystyle{f(0)=-1<0}

\displaystyle{f(e)=\int_{0}^{e}{\frac{e^x-1}{xe^x+1}dx}-1=ln(1+e^{e+1})-(e+1)>e+1-e-1=0}

από ΘΒ για την συνεχή \displaystyle{f} εχουμε το ζητούμενο

\displaystyle{\int\frac{e^x-1}{xe^x+1}dx=\int\frac{e^x-1}{y+1}dx=\int\frac{y'-y-1}{y+1}dx=ln(1+y)-x=ln(1+xe^x)-x}

για την ευρεση της \displaystyle{f}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11626
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#129

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 04, 2020 9:16 pm

Άσκηση 44

Υπολογίστε ( με ακρίβεια χιλιοστού ! ) το : \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin2x}{3+\cos2x}dx


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4304
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#130

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιαν 04, 2020 11:04 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 04, 2020 9:16 pm
Άσκηση 44

Υπολογίστε ( με ακρίβεια χιλιοστού ! ) το : \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin2x}{3+\cos2x}dx

Με την αλλαγή μεταβλητής u=\cos 2x το ολοκληρώμα υπολογίζεται άμεσα σε \ln \frac{8}{5} το οποίο ισούται περίπου 0.470.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9351
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#131

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 05, 2020 8:55 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 04, 2020 9:16 pm
Άσκηση 44

Υπολογίστε ( με ακρίβεια χιλιοστού ! ) το : \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin2x}{3+\cos2x}dx
Ίδιο, αλλά χωρίς αντικατάσταση.

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2\sin 2x}}{{3 + \cos 2x}}dx =  - } \int_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{(3 + \cos 2x)'}}{{3 + \cos 2x}}dx = } \left[ { - \ln (3 + \cos 2x)} \right]_0^{\pi /3} = \[\ln \frac{8}{5} \simeq 0,470


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#132

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιαν 05, 2020 11:17 am

george visvikis έγραψε:
Κυρ Ιαν 05, 2020 8:55 am
KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 04, 2020 9:16 pm
Άσκηση 44

Υπολογίστε ( με ακρίβεια χιλιοστού ! ) το : \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin2x}{3+\cos2x}dx
Ίδιο, αλλά χωρίς αντικατάσταση.

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2\sin 2x}}{{3 + \cos 2x}}dx =  - } \int_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{(3 + \cos 2x)'}}{{3 + \cos 2x}}dx = } \left[ { - \ln (3 + \cos 2x)} \right]_0^{\pi /3} = \[\ln \frac{8}{5} \simeq 0,470
Καλή Χρονιά Γιώργο
Δεν καταλαβαίνω.
Το ολοκλήρωμα υπολογίσθηκε ακριβώς.
Τι νόημα έχει να το προσεγγίσουμε από ρητό.
Δεν ρώτησε ο Θανάσης να προσεγγισθεί από ρητό με ακρίβεια κλπ


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11626
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#133

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 05, 2020 11:29 am

Σταύρο είναι : \ell n(\dfrac{8}{5})\simeq 0.47000363 και απλά σκέφτηκα να αξιοποιήσω την "ευκαιρία" .

Έμμεσα είναι μια υπόδειξη προς τον λύτη για έλεγχο του αποτελέσματος . Όλα αυτά δεν αφορούν

την λύση που θα έγραφε ένας μαθητής αλλά ούτε κι εγώ θα έβαζα ποτέ τέτοιο ερώτημα ...


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#134

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 05, 2020 12:03 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 04, 2020 9:16 pm
Άσκηση 44

Υπολογίστε ( με ακρίβεια χιλιοστού ! ) το : \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin2x}{3+\cos2x}dx
Ας προσθέσω ότι την τεχνική που μας βγάζει τέτοια ολοκληρώματα την σκιαγράφησα στο ποστ #15, παραπάνω, δηλαδή εδώ.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11626
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#135

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 05, 2020 8:59 pm

Άσκηση 45

Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς αριθμούς k , για τους οποίους

ισχύει : \displaystyle\int_{0}^{k}\frac{x^2+kx+1}{x^2+2x+1}dx=k


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#136

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 05, 2020 10:28 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 05, 2020 8:59 pm
Άσκηση 45

Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς αριθμούς k , για τους οποίους

ισχύει : \displaystyle\int_{0}^{k}\frac{x^2+kx+1}{x^2+2x+1}dx=k
\displaystyle k= \int_{0}^{k}\frac{x^2+kx+1}{x^2+2x+1}dx=  \int_{0}^{k}\left ( 1+ \frac{(k-2)x}{(x+1)^2}\right ) \dx = k+(k-2) \left ( \ln (k+1)+ \dfrac {1}{k+1}-1\right )

Άρα (k-2) \left ( \ln (k+1)+ \dfrac {1}{k+1}-1\right ) =0.

Μία λύση η k=2. Η παράσταση στην μεγάλη παρένθεση είναι γνήσια αύξουσα για k\ge 0 (άμεσο με παραγώγιση) και μηδενίζεται (μόνο) στο k=0.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#137

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 05, 2020 10:40 pm

Άσκηση 46

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \displaystyle\int \frac{\cos ( 2018 x)}{\sin ^{2020}x }dx }

(Πρέπει να φρεσκάρετε τους τύπους ημιτόνου/συνημιτόνου αθροίσματος γωνιών).
(H Άσκηση 40 μένει αναπάντητη).

Edit: Διόρθωσα το 2018 από 2019 που είχα γράψει. Συγνώμη αν σας ταλαιπώρησα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#138

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιαν 06, 2020 12:06 am

Άσκηση 47

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int e^{e^{x^2}+x^2+\ln x }\,dx}

(H παράσταση \displaystyle{e^{x^2}+x^2+\ln x} είναι όλη εκθέτης στο e. Για να δούμε, ξέρεις πραγματικά τι θα πει ολοκλήρωμα; Αμ παίζουμε. Η άσκηση είναι χαριτωμένη, με λύση της μιάς γραμμής. Απευθύνεται σε εκείνους που ... διασκεδάζουν με τα Μαθηματικά).


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 348
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#139

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Ιαν 06, 2020 2:05 am

Αρκεί να παρατηρήσει κανείς ότι

\displaystyle \left(\frac{de^{e^{x^2}}}{dx}\right)=2(e^{e^{x^2}+x^2+lnx})
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Ιαν 06, 2020 12:06 am
Άσκηση 47

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int e^{e^{x^2}+x^2+\ln x }\,dx}

(H παράσταση \displaystyle{e^{x^2}+x^2+\ln x} είναι όλη εκθέτης στο e. Για να δούμε, ξέρεις πραγματικά τι θα πει ολοκλήρωμα; Αμ παίζουμε. Η άσκηση είναι χαριτωμένη, με λύση της μιάς γραμμής. Απευθύνεται σε εκείνους που ... διασκεδάζουν με τα Μαθηματικά).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#140

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιαν 06, 2020 6:55 am

mick7 έγραψε:
Δευ Ιαν 06, 2020 2:05 am
Αρκεί να παρατηρήσει κανείς ότι

\displaystyle \left(\frac{de^{e^{x^2}}}{dx}\right)=2(e^{e^{x^2}+x^2+lnx})
Σωστά αλλά ας το κάνουμε λίγο πιο λιανιά γιατί μας διαβάζουν μαθητές:

Η παράσταση μέσα στο ολοκλήρωμα γράφεται \displaystyle{ e^{e^{x^2}}e^{x^2}e^{\ln x }= x e^{x^2} e^{e^{x^2}}} το οποίο από τον κανόνα της αλυσίδας (δύο φορές) ισούται \displaystyle{\dfrac {1}{2}\dfrac{d}{dx} e^{e^{x^2}}}. Έχουμε λοιπόν έτοιμη αντιπαράγωγο, και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης